2026년 9월 고2 학력평가 수학 28번 문제 해설 (역함수 그래프)

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• 수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수
• 역함수 그래프
• 로그함수의 평행이동
• 직사각형 넓이 조건
• 기울기 ±1 위에서 길이 세기

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 두 곡선 사이의 거리를 평행이동 하나로 바꿔 읽는 문제입니다. A와 B는 지수함수 위에, C와 D는 로그함수 위에 있고, 두 곡선을 잇는 선분은 모두 기울기가 −1입니다. 여기에 “선분 AC의 중점이 y = f⁻¹(x) 위에 있다”는 조건이 붙습니다. 곡선이 세 개(f, g, f⁻¹)나 등장하지만, 세 곡선은 서로 평행이동과 대칭으로 연결되어 있어 실제로 다뤄야 할 것은 하나뿐입니다.

28번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조건의 번역에 있습니다. 중점 조건을 좌표로 세우면 미지수가 넷으로 늘어나 손을 댈 수 없습니다. 반대로 f⁻¹이 g를 어느 방향으로 얼마나 옮긴 것인지 먼저 확인하면, 중점 조건은 곧바로 선분 AC의 길이를 알려주는 조건으로 바뀝니다. 이 한 번의 번역에 성공했는지로 갈리는 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · √2를 버리고 x좌표 차이만 세기

실수를 줄이는 노하우

• 역함수를 구할 때 상수 9/2 의 위치를 조심하세요. f⁻¹(x) = log₂(x − 9/2) + 4 이지 log₂x − 9/2 가 아닙니다. 지수함수에서 밖에 더해진 상수는 역함수에서 로그 안으로 들어갑니다. 이 한 글자가 틀리면 g와의 평행이동 관계 자체가 성립하지 않습니다.
• M은 중점입니다. 평행이동 거리 3√2/2 를 그대로 AC로 쓰면 AB = 2√2 가 되고, x좌표 차가 2가 되어 2ᵃ⁻⁴(4 − 1) = 2, 즉 2ᵃ⁻⁴ = 2/3 이라는 깔끔하지 않은 값이 나옵니다. 지수 방정식에서 2의 거듭제곱이 아닌 수가 나오면 중점 처리를 먼저 의심하세요.
• 사각형 이름은 ACDB입니다. A→C→D→B 순서이므로 AB는 대각선이 아니라 변입니다. AB를 대각선으로 착각해 넓이를 대각선 곱으로 세우면 조건이 통째로 어긋납니다.
• 기울기 −1 직선은 A(지수함수 위)와 C(로그함수 위)를 잇습니다. C를 f 위의 점으로 잘못 잡으면 평행이동 관계를 쓸 자리가 사라집니다. 어느 점이 어느 곡선 위인지 그림에 먼저 표시하고 시작하세요.
• 마지막에 9/2 를 한 번만 더하는 실수가 많습니다. A와 B 두 점 모두 상수 9/2 를 가지고 있으므로 합에는 9 가 들어갑니다. 여기서 4.5 를 빠뜨리면 답이 7.5가 되어 자연수가 아닌 값이 나옵니다. 답이 자연수로 떨어지지 않으면 상수항부터 확인하세요.

풀이 영상

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영상은 고2 9월 학력평가 수학 전문항 손풀이 전체본입니다.

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