2026년 9월 고2 학력평가 수학 29번 문제 해설 (귀납적으로 정의된 수열)

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• 수학Ⅰ · 수열
• 귀납적으로 정의된 수열
• 경우 나누기(홀수·짝수)
• 주기 찾기
• 개수 조건 부등식

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 규칙이 반복되는 주기를 찾아 개수 조건으로 바꾸는 문제입니다. 0 이하면 k만큼 올리고, 양수면 2씩 내리는 규칙이라 수열은 “한 번 크게 뛰어오른 뒤 계단으로 내려오기”를 끝없이 반복합니다. a₁ = 0 에서 출발했으니 언젠가 다시 0으로 돌아오고, 돌아오기까지 걸리는 항의 개수가 정해지면 0이 되는 항의 번호는 등차수열이 됩니다.

29번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 분류의 필연성에 있습니다. 2씩 내려가므로 항의 홀짝은 계속 유지되고, 따라서 k가 짝수면 0을 정확히 밟지만 k가 홀수면 0을 건너뛰고 −1에 내려앉습니다. 이 갈림을 못 보면 k가 짝수인 경우만 답으로 내고 끝나도록 설계된 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · 주기 T를 먼저 확정하고 k를 나중에 맞추기

실수를 줄이는 노하우

• 조건의 부등호는 a_n ≤ 0 으로 등호를 포함합니다. a₁ = 0 이 여기에 해당하므로 첫 걸음은 −2 가 아니라 +k 입니다. 등호를 놓치고 a₂ = −2 로 출발하면 수열 전체가 다른 물건이 됩니다.
• m = 1 도 개수에 포함됩니다. a₁ = 0 자체가 첫 번째이므로 이후로 세 번만 더 0이 되면 됩니다. a₁ 을 빼고 네 번을 더 세면 조건이 1 + 4T ≤ 50 < 1 + 5T 로 밀려 k = 18, 20, 22 라는 엉뚱한 답이 나옵니다.
• k가 홀수일 때 −1 을 거치는 단계를 빠뜨리기 쉽습니다. 홀수 항만 나오니 0을 밟을 수 없다는 점을 확인하지 않으면 주기를 q + 1 로 잡게 되고, 짝수 경우와 똑같은 식이 되어 홀수 k가 통째로 사라집니다. 답이 108 로 끝나면 이 실수입니다.
• 개수 조건의 부등호 방향을 정확히 쓰세요. 4번째는 50 이하, 5번째는 50 초과입니다. 5번째에 등호를 붙여 4p + 5 ≥ 50 으로 쓰면 p = 11 이 섞여 들어와 k = 22 가 추가됩니다. “정확히 4개”는 언제나 부등식 두 개입니다.
• 마지막에 k 값을 모두 더해야 합니다. 문제가 요구한 것은 k의 개수도, 가장 큰 k도 아닌 합입니다. 짝수 쪽 4개와 홀수 쪽 2개를 각각 더한 뒤 108 + 24 로 합치면 검산이 빠릅니다.

풀이 영상

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영상은 고2 9월 학력평가 수학 전문항 손풀이 전체본입니다.

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