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1등급 갈림길
4점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
1등급 갈림길
4점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 코사인함수의 그래프
- 주기와 대칭성
- 그래프와 도형의 넓이
- x좌표를 대칭으로 읽기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 그래프의 대칭성을 좌표로 바꾸는 문제입니다. 미지수는 a와 b 두 개인데 주어진 조건도 두 개, 즉 OB = BC와 삼각형 ABC의 넓이가 1이라는 것입니다. 조건 하나가 x좌표를, 다른 하나가 넓이 식을 담당하도록 역할을 나누는 순간 두 미지수가 차례로 결정됩니다.
16번에 배치된 이유는 계산이 아니라 대칭에서 값을 읽어내는 단계에 있습니다. 정의역 0 ≤ x ≤ 2/b가 정확히 한 주기라는 사실을 보지 못하면, x축과 만나는 두 점의 x좌표를 삼각방정식으로 직접 풀려다 미지수 두 개에 갇힙니다. 그림이 주어졌는데도 그림에서 정보를 못 꺼내면 막히도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 정의역이 딱 한 주기
y = a cos bπx 의 주기 = 2π ÷ bπ = 2/b
문제의 정의역 0 ≤ x ≤ 2/b가 주기와 같습니다. 그래서 그래프는 최댓값에서 시작해 한 바퀴를 돌고 다시 최댓값으로 끝납니다.
y = a cos bπx 의 주기 = 2π ÷ bπ = 2/b
문제의 정의역 0 ≤ x ≤ 2/b가 주기와 같습니다. 그래서 그래프는 최댓값에서 시작해 한 바퀴를 돌고 다시 최댓값으로 끝납니다.
② 한 주기는 세 조각으로 나뉜다
OB = BC = CD (D는 (2/b, 0))
그래프가 직선 x = 1/b에 대하여 대칭이므로 C와 D 사이 간격은 O와 B 사이 간격과 같습니다. 여기에 OB = BC를 더하면 구간이 삼등분되어 B(2/3b, 0), C(4/3b, 0)로 확정됩니다.
OB = BC = CD (D는 (2/b, 0))
그래프가 직선 x = 1/b에 대하여 대칭이므로 C와 D 사이 간격은 O와 B 사이 간격과 같습니다. 여기에 OB = BC를 더하면 구간이 삼등분되어 B(2/3b, 0), C(4/3b, 0)로 확정됩니다.
③ B가 그래프 위의 점이라는 조건
a cos(2π/3) + ½ = 0
x = 2/3b를 대입하면 각이 2π/3로 고정되고 코사인값은 −½입니다. b가 통째로 사라지므로 이 식 하나에서 a만 나옵니다.
a cos(2π/3) + ½ = 0
x = 2/3b를 대입하면 각이 2π/3로 고정되고 코사인값은 −½입니다. b가 통째로 사라지므로 이 식 하나에서 a만 나옵니다.
④ 밑변은 x축 위, 높이는 A의 y좌표
A(0, a + ½) → 높이 = OA = a + ½
B와 C가 모두 x축 위에 있으므로 밑변은 BC이고, 높이는 A에서 x축까지의 거리인 a + ½입니다. 여기에 넓이 1을 걸면 b가 결정됩니다.
A(0, a + ½) → 높이 = OA = a + ½
B와 C가 모두 x축 위에 있으므로 밑변은 BC이고, 높이는 A에서 x축까지의 거리인 a + ½입니다. 여기에 넓이 1을 걸면 b가 결정됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ a + b = 3/2
상세 해설
더 빠른 풀이 · a와 b를 분리해서 하나씩 잡기
두 미지수를 한꺼번에 다루려 하면 식이 엉킵니다. 어느 조건이 어느 문자를 결정하는지 먼저 갈라 두세요.
1단계 0부터 2/b까지를 삼등분한 지점이 B와 C입니다. x좌표를 b로 나타내면 각 bπx가 2π/3, 4π/3으로 고정되고, 여기서 b는 서로 지워집니다.
2단계 그러므로 f(B) = 0이라는 조건은 오직 a에 대한 일차식입니다. cos(2π/3) = −½을 넣으면 −a/2 + ½ = 0에서 a = 1이 나오고, 이 값은 b와 아무 상관이 없습니다. a > ½이라는 단서와도 맞습니다.
3단계 남은 조건인 넓이 1은 b만 담고 있습니다. 밑변 BC = 2/3b, 높이 OA = 3/2이므로 넓이는 1/(2b)가 되고, 이것이 1이므로 b = ½입니다. 따라서 a + b = 3/2입니다.
a > ½이라는 조건은 장식이 아닙니다. 최솟값이 −a + ½이므로 a가 ½보다 커야 그래프가 x축과 두 점에서 만납니다. 조건의 출처를 알면 문제가 그림대로 생겼는지 검증할 수 있습니다.
실수를 줄이는 노하우
- 삼각형의 높이를 a로 쓰는 실수가 가장 잦습니다. 높이는 A의 y좌표인 a + ½ = 3/2이지 a = 1이 아닙니다. 높이를 1로 두면 1/(3b) = 1에서 b = 1/3이 되어 답이 ④ 4/3으로 흘러갑니다.
- 주기를 2π/b로 계산하지 마세요. 각의 계수가 bπ이므로 주기는 2π ÷ bπ = 2/b입니다. π를 빠뜨리면 정의역과 주기가 어긋나 대칭 자체를 못 씁니다.
- 밑변을 OC나 OB로 잡으면 안 됩니다. 삼각형 ABC의 밑변은 B에서 C까지인 2/3b입니다. 그림에서 색칠된 영역의 아래쪽 변이 어디부터 어디까지인지 손가락으로 짚고 시작하세요.
- cos(2π/3)의 부호를 +½로 쓰면 a = −1이 나옵니다. a가 양수라는 조건과 충돌하는 순간 되돌아가서 각을 다시 보세요. 부호 하나가 문제 전체를 뒤집습니다.
- 마지막에 b = ½을 원문에 되돌려 검산하세요. 정의역은 0 ≤ x ≤ 4, B는 4/3, C는 8/3, A는 (0, 3/2)이고 f(4/3) = 0이 성립합니다. 20초면 끝나고 대입 실수를 전부 잡아냅니다.
풀이 영상
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번호를 누르면 해당 문항의 해설·분석 포스트로 이동합니다. (2026년 9월 고2 전국연합학력평가 수학)