기본 점수 확보
3점
2026년 9월 고2 학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 지수와 로그
- 로그의 성질
- 로그의 정의
- 두 점을 지나는 직선의 기울기
- 진수의 비로 바꾸기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 그래프 위의 두 점이라는 도형 조건을 로그 한 줄의 식으로 옮기는 문제입니다. 두 점의 y좌표는 log₂a와 log₂(a+2)로 이미 주어져 있고, x좌표의 차이는 (a+2) − a = 2로 고정되어 있습니다. 그러므로 기울기가 2라는 조건은 곧 두 로그값의 차가 얼마인지를 알려 주는 조건입니다. 여기까지 오면 남는 일은 로그의 뺄셈을 진수의 나눗셈으로 바꾸는 것뿐입니다.
7번 자리에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조건의 번역에 있습니다. 기울기라는 단어를 보고 직선의 방정식을 세우려 하면 미지수가 늘어나 오히려 막히고, 기울기의 정의인 (y의 차)÷(x의 차)로 곧장 들어가면 두 줄에서 끝납니다. 어느 쪽 문을 여는지가 소요 시간을 세 배로 벌리는 문항입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
기울기 = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
이 문항의 x₂ − x₁은 (a+2) − a = 2로 이미 정해져 있습니다. 미지수 a가 분모에서 사라지는 것이 이 문제의 출발점입니다.
log₂M − log₂N = log₂(M ÷ N)
log₂(a+2) − log₂a를 log₂ 하나로 묶으면 진수가 (a+2)/a가 됩니다. 로그가 두 개 남아 있으면 방정식을 풀 수 없으므로 반드시 하나로 합치세요.
log₂k = 4 ⟺ k = 2⁴ = 16
로그를 벗겨 내는 단계입니다. 밑이 2이므로 오른쪽에는 2의 거듭제곱이 옵니다. 여기서 16이라는 수가 만들어지고, 선지의 분모 15가 예고됩니다.
a > 0 → a + 2 > 0 자동 성립
문제에서 a가 양수라고 못 박았으므로 두 점 모두 y = log₂x의 그래프 위에 있습니다. 구한 값이 양수인지만 확인하면 검증이 끝납니다.
정답 확인
정답 ② a = 2/15
상세 해설
더 빠른 풀이 · 가로 2칸에 세로 4칸을 먼저 읽기
분수식을 세우지 않고, 기울기를 ‘가로로 간 만큼 세로로 얼마나 올라가는가’로 읽으면 식 한 줄로 끝납니다.
이 방식은 밑이 2인 로그가 등차적으로 벌어지는 모든 문항에 그대로 통합니다. 세로 간격을 먼저 수로 확정해 두면 로그가 몇 개든 진수의 배수 관계 하나로 압축됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- 기울기는 y의 차가 아니라 y의 차를 x의 차로 나눈 값입니다. log₂(a+2) − log₂a = 2로 두면 진수의 비가 4가 되어 3a = 2, 즉 선지에 없는 값이 나옵니다. 분모 2를 곱해 4를 만드는 것이 첫 관문입니다.
- 2⁴를 2 × 4 = 8로 계산하는 실수가 잦습니다. 밑이 2이고 지수가 4이므로 16입니다. 8로 두면 7a = 2가 되어 역시 선지에 걸리지 않습니다.
- 지수 4와 문제의 상수 2를 뒤섞지 마세요. a + 4 = 16a로 옮겨 적으면 15a = 4가 되어 답이 ④ 4/15로 흘러갑니다. 좌변의 상수는 언제나 문제에 있는 2입니다.
- a + 2 = 16a에서 이항할 때 15a = 2이지 15a = −2가 아닙니다. a를 왼쪽으로 넘길지 오른쪽으로 넘길지 정한 뒤 한 방향으로만 옮기세요.
- 마지막에 a = 2/15를 진수 비에 되넣어 (2/15 + 2) ÷ (2/15) = 16이 되는지 확인하세요. 분자는 32/15이고 16배가 맞습니다. 10초면 부호와 이항 실수를 모두 잡아냅니다.
풀이 영상
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