2026년 9월 고2 학력평가 수학 21번 문제 해설 (등차수열)

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킬러 문항
4점
2026년 09월 고2 전국연합학력평가 · 수학
  • 수학Ⅰ · 수열
  • 등차수열
  • 부분합과 절댓값
  • 등차중항
  • 부호 변화 지점 분류
2026년 09월 고2 학력평가 수학 21번 문제

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 절댓값이 두 겹으로 걸린 수열 bn의 정체를 밝히는 문제입니다. Σ|ak|는 항의 부호를 모두 지운 합이고, |Σak|는 먼저 더한 뒤 부호를 지운 값입니다. 두 값의 차이는 오직 음수 항 때문에 생기므로, bn은 “음수 항이 만들어 내는 손실의 크기”를 재는 장치입니다.

21번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 부호가 바뀌는 지점을 스스로 찾는 일에 있습니다. 공차가 음수라는 조건 때문에 수열은 반드시 어느 지점에서 양수에서 음수로 넘어가고, 조건 (가)가 그 지점을 정확히 지정합니다. 이 지점을 못 잡으면 식은 세워지지 않고, 잡더라도 조건 (나)에서 한 번 더 경우를 걸러야 하는 이중 구조입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

① 모든 항이 음수면 bn은 항상 0
a₁ < 0 → Σ|ak| = −Σak = |Σak|
첫째항까지 음수라면 부호를 지우든 더한 뒤 지우든 결과가 같아 bn = 0이 됩니다. 그러면 b4 ≠ 0을 만족할 수 없으므로 a₁ > 0입니다.
② 부호가 바뀌는 지점 p
ap+1 < 0 < ap
첫째항이 양수이고 공차가 음수이므로 어느 자리에서 반드시 음수로 넘어갑니다. 모든 항이 0이 아닌 정수라는 조건이 “딱 0이 되는 항”을 막아 줍니다.
③ 조건 (가)가 p를 확정한다
b₃ = 0, b₄ ≠ 0 → p = 3
n ≤ p까지는 음수 항이 없어 bn = 0이고, 음수 항이 처음 들어오는 순간부터 bn이 0을 벗어납니다. 따라서 a₄ < 0 < a₃입니다.
④ 부분합의 부호에 따라 bn이 두 얼굴을 가진다
Σak > 0 → bn = −2(a₄+⋯+an)
Σak < 0 → bn = 2(a₁+a₂+a₃)
부분합이 아직 양수면 음수 항의 절댓값이 2배로 쌓이고, 부분합이 음수로 돌아서면 값이 2(a₁+a₂+a₃)로 고정됩니다. 등차중항으로 이는 6a₂입니다.
정답 확인

정답 ③   b₅ = 28

상세 해설

2026년 09월 고2 학력평가 수학 21번 상세 해설 1
2026년 09월 고2 학력평가 수학 21번 상세 해설 2
2026년 09월 고2 학력평가 수학 21번 상세 해설 3
2026년 09월 고2 학력평가 수학 21번 상세 해설 4

더 빠른 풀이 · bn을 “작은 쪽의 2배”로 읽기

첫째항부터 n번째 항까지에서 양수 항의 합을 P, 음수 항의 절댓값 합을 N이라 하면 Σ|ak| = P + N, |Σak| = |P − N|입니다. 이 두 식을 빼면 bn의 정체가 한 줄로 드러납니다.

1단계 bn = (P + N) − |P − N| = 2 × min(P, N). 즉 bn은 양수 쪽과 음수 쪽 중 작은 쪽의 2배입니다. 이 한 줄이면 절댓값 기호를 다시 쓸 일이 없습니다.
2단계 n이 커질수록 N만 계속 늘어나므로, N < P인 구간에서는 bn이 증가하다가 N > P가 되는 순간부터 bn = 2P = 2(a₁+a₂+a₃) = 6a₂로 딱 멈춰 상수가 됩니다.
3단계 b₁₀ = 48은 이미 멈춘 구간의 값이므로 6a₂ = 48, 즉 a₂ = 8입니다. 또 b₄, b₅, b₆이 등차수열이려면 b₆은 증가 구간이 아니라 멈춘 값 48이어야 합니다. b₄ + b₆ = 2b₅에 b₄ = −2a₄를 넣으면 미지수 두 개짜리 연립식이 완성됩니다.

이렇게 보면 첫째항 a = 14, 공차 d = −6이 나오고 수열은 14, 8, 2, −4, −10, ⋯입니다. b₄ = 8, b₅ = 28, b₆ = 48로 공차 20인 등차수열이 되고 b₁₀도 48로 확인됩니다.

실수를 줄이는 노하우

  • b₄, b₅, b₆의 공차가 20이라는 데까지 도달한 뒤 그 공차 20을 답으로 고르면 ①로 흘러갑니다. 묻는 것은 b₅ 자체입니다. b₅ = (b₄ + b₆) ÷ 2 = (8 + 48) ÷ 2로 마무리하세요.
  • b₆도 b₄, b₅와 같은 방식으로 −2a₄ − 2a₅ − 2a₆이라 두면 공차가 −2a₅와 −2a₆으로 달라져 조건 (나)가 깨집니다. 이 모순을 확인해야 b₆ = 48이 나옵니다. b₆의 경우를 나누지 않고 넘어가면 식 자체가 잘못 세워집니다.
  • a₁ < 0인 경우를 배제하는 문장을 빠뜨리지 마세요. 이 경우 bn이 항상 0이 되어 b₄ ≠ 0과 충돌합니다. 서술형이었다면 여기서 감점되는 자리입니다.
  • 조건 (가)는 b₃ = 0과 b₄ ≠ 0을 둘 다 써야 p = 3이 확정됩니다. b₃ = 0만 보면 a₃ > 0까지만 얻고 a₄의 부호는 미정으로 남습니다.
  • 답을 구한 뒤 14, 8, 2, −4, −10을 직접 적어 b₃ = 0, b₄ = 8, b₁₀ = 48을 15초 안에 검산하세요. 모든 항이 0이 아닌 정수라는 조건까지 함께 확인됩니다.

풀이 영상

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