2026년 9월 고2 학력평가 수학 20번 문제 해설 (원에 내접하는 사각형)

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• 수학Ⅰ · 삼각함수의 활용
• 원에 내접하는 사각형
• 사인법칙 · 코사인법칙
• 접선과 현이 이루는 각
• 닮음비로 길이 옮기기

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 반지름 하나, 각 하나, 변의 비 하나만 주고 원 바깥쪽 삼각형의 넓이를 묻는 문항입니다. 주어진 정보는 전부 원 안쪽 사각형 ABCD에 있으므로, 먼저 안쪽 길이를 모두 확정한 다음 그 값을 접선 위의 점 E, F로 옮겨야 합니다. 사인법칙은 각을 길이로, 코사인법칙은 길이를 길이로, 접현각과 닮음은 안쪽 길이를 바깥쪽 길이로 옮기는 도구입니다.

20번에 놓인 이유는 한 번의 발상이 아니라 정보 전달 경로의 길이에 있습니다. AC를 구하고, 그것으로 AB와 BC를 구하고, 다시 AD를 구하고, 그 값으로 AE와 EF까지 가는 다섯 단계가 순서대로 맞아야 합니다. 중간 한 곳에서 부호나 비를 뒤집으면 계산은 끝까지 굴러가지만 답은 다른 선지로 도착합니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · 접점에서 뻗는 1 : 2 : 4 구조

실수를 줄이는 노하우

• 내접사각형에서 cos의 부호가 첫 관문입니다. ∠ABC는 ∠ADC의 보각이므로 cos(∠ABC) = −1/4입니다. 여기에 +1/4을 넣으면 10k² = 36이 되어 k가 무리수로 튀어나오는데, 그 순간이 부호를 놓쳤다는 신호입니다. 반면 sin은 부호가 바뀌지 않습니다.
• 사인법칙은 2R입니다. 반지름 4√15/5를 두 배 하지 않고 그대로 쓰면 AC = 3이 되고, 이후 모든 길이가 절반이 되어 넓이는 4분의 1로 어긋납니다.
• AD를 구하는 이차방정식 2x² − 3x − 54 = 0에서 (x − 6)(2x + 9) = 0의 두 근 중 −9/2는 길이가 될 수 없으므로 버립니다. 인수분해 직후 양수 조건을 한 번 확인하세요.
• 닮음의 대응 순서를 뒤집지 마세요. △CBE ∽ △ACE에서 C ↔ A, B ↔ C로 대응하므로 EB : EC = 1 : 2입니다. 이를 반대로 쓰면 EA가 EB보다 짧다는 결론이 나오는데, 그림상 불가능하므로 즉시 되돌아와야 합니다.
• 마지막 넓이 공식에서 낀 각을 끼는 두 변만 씁니다. ∠AEF의 꼭짓점은 E이므로 EA = 6과 EF = 7을 써야 합니다. 길이를 다 구했다는 안도감에 AF = 8을 넣어 (1/2) × 6 × 8 × √15/4를 계산하면 6√15가 되어 ⑤로 흘러갑니다.

풀이 영상

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