기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고2 전국연합학력평가 · 수학
- 수학Ⅱ · 함수의 극한
- 곡선과 직선의 교점
- 0 × ∞ 부정형
- 근호식 정리
- 공통인수로 묶기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 교점의 좌표를 t의 식으로 바꾼 뒤 극한을 계산하는 문제입니다. 곡선과 직선이 만난다는 말은 두 식을 연립하라는 뜻이고, 연립하면 x에 대한 이차식이 나옵니다. x > 0이라는 조건이 두 근 중 하나를 지워 주므로 f(t)가 하나로 결정되고, g(t)는 그 x를 직선식에 넣기만 하면 됩니다. 좌표를 t로 표현하는 순간 문제는 극한 계산으로 바뀝니다.
17번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 부정형의 처리에 있습니다. t → 1+일 때 f(t)는 0으로, g(t)는 무한대로 갑니다. 즉 (t − 1)(f + g)²은 0 × ∞ 꼴이어서 각 부분의 극한을 따로 구해 곱하면 안 됩니다. 하나의 분수식으로 정리해 (t − 1)을 약분해야만 값이 드러나도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
(t+2)/x = x/(t−1) → x² = (t−1)(t+2)
양변에 x와 (t − 1)을 곱하면 곧바로 x²이 됩니다. 교점의 x좌표는 이 이차식의 근입니다.
f(t) = √{(t−1)(t+2)}
t > 1이므로 (t − 1)(t + 2) > 0이고 근호가 정의됩니다. 음의 근은 x > 0 조건에서 버립니다.
g(t) = f(t)/(t−1)
y좌표는 x좌표를 직선식에 넣은 값입니다. 곡선식 (t+2)/f(t)에 넣어도 같은 값이 나옵니다.
f + g = f(t) × {1 + 1/(t−1)} = f(t) × t/(t−1)
f(t)를 밖으로 빼면 제곱했을 때 (t − 1)이 분자·분모에 몇 개씩 있는지가 한눈에 드러납니다.
정답 확인
정답 ① 극한값 = 3
상세 해설
더 빠른 풀이 · 곱과 비로 읽기
근호를 끝까지 끌고 가는 것이 부담스럽다면, f(t)와 g(t)를 각각 구하지 않고 두 값의 곱과 비만 읽는 길이 있습니다.
이 방법의 장점은 (t − 1)의 개수를 세는 실수가 원천적으로 사라진다는 점입니다. 곡선 y = k/x와 직선이 만나는 유형에서는 언제나 두 좌표의 곱이 k라는 점을 먼저 떠올리세요.
실수를 줄이는 노하우
- f(t)와 g(t)의 극한을 따로 구하지 마세요. t → 1+에서 f는 0, g는 ∞로 가므로 0 × ∞ 부정형이 됩니다. 반드시 한 개의 식으로 합친 뒤 약분해야 합니다.
- (t − 1)의 개수를 세는 것이 이 문항의 승부처입니다. f²에서 분자에 1개, {t/(t−1)}²에서 분모에 2개, 문제의 앞에 1개가 곱해져 정확히 상쇄됩니다. 한 번 덜 약분하면 발산, 한 번 더 약분하면 0이 되는데 둘 다 선지에 없습니다. 그 값이 나오면 지수를 다시 세라는 신호입니다.
- √{(t−1)(t+2)}를 (t − 1)로 나눌 때 근호 안으로 넣고 싶다면 (t − 1)을 제곱해서 넣어야 합니다. √{(t+2)/(t−1)}이 맞고, √{(t+2)/(t−1)²}처럼 두 번 나누면 안 됩니다.
- t > 1이라는 조건은 장식이 아닙니다. 근호 안이 양수임을 보장하고, (t − 1) > 0이므로 절댓값 기호 없이 그대로 약분해도 된다는 근거가 됩니다. 조건을 확인하지 않으면 부호 하나에서 답이 −3으로 뒤집힙니다.
- 마지막에 구한 t²(t + 2)에 t = 1을 넣기 전에, t = 2 같은 값을 원래 식과 정리한 식에 각각 넣어 두 값이 같은지 확인하세요. 20초면 약분 실수를 전부 잡아냅니다.
풀이 영상
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