2026년 9월 고2 학력평가 수학 30번 문제 해설 (그래프와 직선의 교점 개수)

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30

킬러 문항
4점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학

수학Ⅱ · 함수의 극한
그래프와 직선의 교점 개수
불연속과 좌우 극한
이차함수의 극값
대칭 이용 + 경우 분류

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 두 개의 이차함수를 x = 0에서 이어 붙인 함수를, 교점 개수 함수 g(t)의 불연속점 위치로 바꿔 읽는 문제입니다. 미지수는 a와 b 두 개뿐인데 조건은 세 개(가·나, 그리고 f(1) > 0)입니다. 조건 (가)는 f의 근이 어디에 몇 개 있는지를, 조건 (나)는 g가 어느 높이에서 끊기는지를 지정합니다. 그래프의 근과 극값을 각각 다른 조건이 담당한다는 것을 알아채는 순간 계산이 시작됩니다.

30번에 배치된 이유는 불연속점의 짝짓기에 있습니다. g(α)가 오른쪽 극한과 다르다는 것은 흔한 조건이지만, 여기에 곱까지 같아야 한다는 조건이 붙으면 α뿐 아니라 −α에서도 g가 끊겨야 합니다. 즉 좌우 두 이차함수의 극값이 부호만 반대인 같은 크기여야 한다는 등식 하나로 압축됩니다. 이 번역을 못 하면 그래프 개형만 여러 개 그리다 시간이 끝납니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

① 조건 (가)의 집합은 원점 대칭
k ∈ A ⟹ −k ∈ A
f(k)f(−k) = 0은 k와 −k를 바꿔도 그대로입니다. 그래서 A는 f의 0이 아닌 근과 그 부호를 뒤집은 값을 함께 담습니다. 근 후보는 −2, a(a < 0일 때만), b이고, 원소가 4개라는 말은 서로 다른 절댓값이 정확히 2종류라는 뜻입니다.

② g(t)가 끊기는 높이는 극값뿐
x ≥ 0 극댓값 = 49/64·b² , x < 0 극솟값 = −(a+2)²/4
직선 y = t를 위로 올릴 때 교점이 갑자기 사라지거나 생기는 순간은 접점이 만들어지는 높이, 즉 극값의 높이입니다. 두 극값이 이 문항에서 α의 후보 전부입니다.

③ 모든 t에서 g(t) ≥ 1
g(α)·g(−α) = L·M , g(α) ≠ L ⟹ g(−α) ≠ M
x → −∞에서 +∞, x → +∞에서 −∞이므로 f의 치역은 실수 전체이고 g(t)는 0이 될 수 없습니다. 0이 아니니 양변을 나눌 수 있고, 그래서 −α에서도 반드시 끊깁니다. 두 극값이 부호만 다른 같은 크기라는 결론이 여기서 나옵니다.

④ 극값 근처에서 교점 세는 법
극대: g(α) = L + 1 / 극소: g(−α) = M − 1
극댓값 높이에서는 접점 하나가 더 세지고, 극솟값 높이에서는 접점 하나로 합쳐집니다. 이를 곱 조건에 넣으면 (L+1)(M−1) = LM, 정리하면 M = L + 1이라는 짧은 조건이 남습니다.

정답 확인

정답 15 (a = −11/2, b = 2)

상세 해설

더 빠른 풀이 · 조건 (나)를 등식 두 개로 압축하기

개형을 여러 개 그려 비교하는 대신, 조건 (나)를 숫자 조건 두 줄로 먼저 바꿔 놓으면 경우가 저절로 걸러집니다.

1단계 f(1)부터 씁니다. 1 ≥ 0이므로 아래 식이고 f(1) = −49/16·(1 − b) > 0에서 b > 1입니다. b가 1보다 크다는 사실만으로 뒤의 여러 갈래가 미리 죽습니다.

2단계 조건 (나)의 첫 등식을 세웁니다. α와 −α가 모두 극값이어야 하므로 49/64·b² = (a+2)²/4입니다. 좌변은 x ≥ 0의 극댓값, 우변은 x < 0의 극솟값에 −를 붙인 값입니다.

3단계 둘째 조건 M = L + 1을 씁니다. 극솟값 바로 위에서는 왼쪽 2개 + 오른쪽 1개로 M = 3이 늘 성립하므로 L = 2, 즉 극댓값 바로 위에서도 왼쪽 그래프가 두 번 잘려야 합니다. 이는 x = 0에서 뚫린 점의 높이가 극댓값보다 위, 곧 −2a > 49/64·b²라는 뜻이고 자동으로 a < 0이 됩니다.

4단계 a < 0을 조건 (가)에 얹으면 절댓값 2종류를 만드는 길은 b = 2 또는 b = −a뿐입니다. b = −a는 2단계 등식에서 a = −8/11이 되어 b > 1에 걸려 탈락하고, b = 2를 넣으면 (a+2)² = 49/4에서 a = −11/2입니다. −2a = 11 > 49/16이므로 3단계도 통과합니다.

5단계 −8 < 0이므로 위쪽 식에 넣습니다. f(−8) = (−8+2)(−8+11/2) = (−6)×(−5/2) = 15입니다.

이 순서의 장점은 그래프를 딱 하나만 그린다는 데 있습니다. 등식 하나와 부등식 하나를 먼저 확보해 두면, 개형은 마지막에 확인용으로 한 번 그리면 충분합니다.

실수를 줄이는 노하우

f(1)에서 부호를 뒤집지 마세요. −49/16이 앞에 있으므로 f(1) > 0은 1 − b < 0, 즉 b > 1입니다. 여기서 b < 1로 잘못 가면 b = −a 갈래가 살아남아 a = −8/11, f(−8) = 90/121 같은 값으로 흘러갑니다.
조건 (가)에서 a ≥ 0이면 x = a는 근이 아닙니다. 위쪽 식은 x < 0에서만 쓰이기 때문입니다. 이걸 놓치면 (a+2)² = 49/4의 두 근 중 a = 3/2도 답처럼 보여 f(−8) = 57이 나옵니다. a < 2라는 단서만 보고 3/2를 채택하는 것이 이 문항의 대표 함정입니다.
x < 0 쪽 극솟값은 −a²/4가 아니라 −(a+2)²/4입니다. (x+2)(x−a)를 전개한 뒤 완전제곱으로 고쳐 꼭짓점의 y좌표를 직접 확인하세요.
−2a > 49/64·b² 확인을 건너뛰지 마세요. 등식만 풀면 0 ≤ a < 2인 경우도 통과한 것처럼 보이지만, 그때는 M = 3인데 L = 1이라 곱이 어긋납니다. x = 0에서 뚫린 점의 높이를 그림에 반드시 적어 두세요.
마지막 대입에서 −8은 0보다 작으므로 위쪽 식입니다. 아래 식에 넣으면 −245가 나옵니다. 또 −8 − a는 a = −11/2를 넣어 −8 + 11/2 = −5/2이며, 부호를 놓쳐 −27/2로 쓰면 81이 됩니다.

풀이 영상

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