기본 점수 확보
3점
2026년 9월 고2 전국연합학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 삼각함수 사이의 관계
- 각의 변환 π+θ
- 사분면과 부호
- 제곱 관계로 cos 구하기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 sin 값 하나를 cos 값으로 옮기는 문제입니다. 주어진 것은 sinθ 하나뿐인데 묻는 것은 cos(π+θ)이므로, 사이에 두 개의 다리가 필요합니다. 하나는 π+θ를 θ로 되돌리는 각의 변환이고, 다른 하나는 sin에서 cos으로 건너가는 제곱 관계입니다. 이 두 다리를 순서대로 놓으면 계산은 세 줄이면 끝납니다.
4번 자리에 배치된 이유는 계산량이 아니라 부호를 두 번 결정해야 한다는 점에 있습니다. cos(π+θ) = −cosθ에서 마이너스가 한 번 붙고, cos²θ = 4/9에서 제곱근을 벗길 때 부호를 또 한 번 정해야 합니다. 선지에 −2/3과 2/3가 나란히 놓여 있는 것이 그 증거입니다. 한 번이라도 부호를 흘리면 크기는 맞고 답만 틀리도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
cos(π + θ) = −cosθ
π를 더한다는 것은 단위원 위의 점을 원점 대칭으로 옮긴다는 뜻입니다. x좌표와 y좌표가 모두 부호만 뒤집히므로 cos에는 마이너스 하나만 붙습니다.
sin²θ + cos²θ = 1
sin 값을 알면 cos의 제곱까지는 무조건 나옵니다. (√5/3)² = 5/9이므로 cos²θ = 1 − 5/9 = 4/9입니다. 분자만 제곱하지 말고 분모 3도 함께 제곱하세요.
0 < θ < π/2 → cosθ > 0
cos²θ = 4/9에서 나올 수 있는 값은 2/3과 −2/3 두 개입니다. θ가 제1사분면 각이라는 조건이 이 중 하나를 잘라 내어 cosθ = 2/3으로 확정합니다.
cos(π + θ) = −cosθ = −(2/3)
③에서 구한 것은 cosθ이지 구하는 값이 아닙니다. ①의 마이너스를 마지막 줄에서 반드시 되살려야 답이 됩니다.
정답 확인
정답 ① cos(π + θ) = −2/3
상세 해설
더 빠른 풀이 · 직각삼각형 하나 그리고 부호만 판정하기
제곱 관계를 식으로 전개하지 않고, 삼각비 그림으로 크기를 먼저 읽은 뒤 부호만 따로 붙이는 길이 있습니다.
이 방법은 sin, cos, tan 어느 것을 물어도 절차가 같습니다. 크기는 삼각형에서, 부호는 사분면에서 — 두 정보를 분리해서 처리하면 각의 변환 공식을 헷갈릴 일이 없습니다.
실수를 줄이는 노하우
- cos(π + θ)를 cosπ + cosθ처럼 분해하면 안 됩니다. 삼각함수는 괄호 안을 나눠 넣을 수 없습니다. π+θ는 각 하나이고, 통째로 원점 대칭 이동으로 읽으세요.
- cosθ = 2/3까지 구하고 멈추면 그대로 ⑤로 흘러갑니다. 구하는 것은 cosθ가 아니라 cos(π+θ)입니다. 마지막 줄에 마이너스를 붙였는지 반드시 확인하세요.
- (√5/3)²을 계산할 때 분모를 빼먹고 5/3으로 두면 cos²θ가 음수가 되어 풀이가 막힙니다. 제곱은 분자와 분모에 모두 적용하세요.
- cos²θ = 4/9에서 근호를 벗기지 않고 4/9를 답으로 옮기면 값이 선지에 없습니다. 선지에 없는 값이 나왔다면 제곱을 하나 덜 푼 것입니다.
- 부호를 정할 때 근거는 θ의 범위입니다. 0 < θ < π/2라는 조건에 밑줄을 긋고 시작하면 −2/3과 2/3 사이에서 흔들리지 않습니다.
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