기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 코사인법칙
- 선분의 내분점
- 공통각 이용
- 두 식을 등식으로 연결
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 구하려는 각을 두 번 표현해서 방정식을 만드는 문제입니다. 주어진 길이는 AB, AC, AD 세 개인데 정작 밑변 BC의 길이는 모릅니다. 그런데 점 D가 BC를 2 : 1로 나누므로 BC를 문자 하나로 잡을 수 있고, 그 순간 삼각형 ABC와 삼각형 ABD가 각 B를 공유한다는 사실이 방정식 한 개를 만들어 줍니다.
13번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 같은 각의 두 얼굴을 알아보느냐에 있습니다. 코사인법칙을 한 번만 쓰면 미지수가 남아 답이 안 나오고, 두 삼각형에서 같은 각을 각각 표현해 등식으로 놓아야 미지수가 결정됩니다. 조건이 세 개인데 미지수가 하나라면 식을 두 개 만들라는 신호입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
BD : DC = 2 : 1 → BD = 2k, DC = k, BC = 3k (k > 0)
비만 주어졌으므로 길이는 미지수 하나로 충분합니다. BD와 BC를 같은 문자 k로 묶어 두는 것이 이 문항의 출발점입니다.
cos B = (AB² + BC² − AC²) ÷ (2 × AB × BC)
각 B를 낀 두 변은 제곱해서 더하고, 각 B의 맞은편 변만 빼 줍니다. 어느 변을 빼는지가 전체 부호를 결정합니다.
∠ABC = ∠ABD → cos(∠ABC) = cos(∠ABD)
D가 선분 BC 위에 있으므로 두 각은 같은 각입니다. 삼각형 ABC에서 한 번, 삼각형 ABD에서 한 번 표현하면 k에 대한 방정식이 생깁니다.
k² 값 → k > 0으로 근 선택 → cos 식에 재대입
k를 구하는 것이 목적이 아닙니다. 구한 k를 ②의 식에 되돌려 넣어야 비로소 구하는 값이 나옵니다.
정답 확인
정답 ③ cos(∠ABC) = √3 ÷ 6
상세 해설
더 빠른 풀이 · 체바선 길이 공식으로 k를 한 줄에
코사인법칙을 두 번 쓰는 대신, 한 꼭짓점에서 대변으로 그은 선분(체바선)의 길이 공식을 쓰면 k가 한 줄에 나옵니다. 중선정리를 일반 비율로 확장한 형태입니다.
객관식에서는 이 공식이 압도적으로 빠르지만, 서술형에서는 공식 자체를 유도하거나 두 각이 보각임을 근거로 써야 감점을 피할 수 있습니다. 중선정리(m = n)만 외운 학생은 이 문항에서 쓸 수 없으니, 비율이 다른 일반형으로 기억해 두세요.
실수를 줄이는 노하우
- AB = 2를 식에 넣을 때 제곱을 빠뜨려 2로 쓰는 실수가 가장 많습니다. 이 경우 분자가 2 + 27 − 25 = 4가 되어 값이 √3 ÷ 9, 즉 ②로 흘러갑니다. 코사인법칙의 세 항은 모두 제곱임을 대입 전에 표시해 두세요.
- 내분 비율을 거꾸로 잡아 BD = k, DC = 2k로 두면 방정식이 2k² = −1이 되어 해가 사라집니다. 계산 중 근이 없어지면 계산을 다시 하기 전에 내분 순서부터 확인하세요. “BC를 2 : 1로 내분”은 B쪽 조각이 2입니다.
- AD = 2√3을 제곱할 때 (2√3)² = 12입니다. 4 × 3을 6이나 4√3으로 처리하면 k² 값이 통째로 달라집니다. 근호가 붙은 길이는 제곱값을 먼저 따로 적어 두세요.
- cos(∠ABC)를 쓸 때 빼는 변은 각 B의 맞은편인 AC(= 5)입니다. 삼각형 ABD로 넘어가면 빼는 변이 AD로 바뀝니다. 삼각형이 바뀌면 대변도 바뀐다는 점을 매번 확인하세요.
- k² = 3에서 멈추고 k = √3을 답 자리에 넣으면 안 됩니다. 구하는 것은 길이가 아니라 코사인 값이므로, 반드시 원래 식에 되돌려 넣고 분모를 유리화해 선지 형태로 맞추세요.
풀이 영상
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