1등급 갈림길
4점
2026년 9월 고2 전국연합학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 삼각함수의 그래프
- 주기와 진폭
- 그래프의 대칭성
- 해의 합으로 미지수 소거
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 풀 수 없는 방정식을 풀지 않고 넘어가는 문제입니다. 8 sin ax = 5를 그대로 풀면 sin의 값이 5/8이라는, 특수각이 아닌 각이 나옵니다. 여기서 각을 구하려고 시도하면 길이 끊깁니다. 그런데 문제가 요구하는 것은 각각의 해가 아니라 가장 작은 해와 가장 큰 해의 합이고, 합을 만드는 순간 그 각이 통째로 소거됩니다. 구해야 할 것은 해가 아니라 그래프의 대칭 구조입니다.
27번에 배치된 이유는 구간 끝의 처리에 있습니다. 0 ≤ x ≤ 8π에는 주기가 정확히 4a개 들어가므로 마지막 주기가 x = 8π에서 딱 끝납니다. 그렇다고 마지막 교점이 8π인 것은 아닙니다. 마지막 교점이 구간 끝에서 얼마나 앞에 있는지를 반주기 단위로 정확히 세는 것이 이 문항의 유일한 관문입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
y = 8 sin ax → 주기 2π/a, 최댓값 8, 최솟값 −8
진폭 8이 직선 y = 5보다 크므로 한 주기마다 교점이 반드시 두 개 생깁니다. 교점의 존재는 이 비교로 먼저 확정하세요.
8π ÷ (2π/a) = 4a (a는 자연수)
구간 [0, 8π]에 주기가 4a개 있고, 각 주기의 경계에서 f의 값은 0입니다. 즉 마지막 주기는 x = 8π − 2π/a에서 시작해 8π에서 끝납니다.
가장 작은 해를 θ라 하면, 그 짝은 π/a − θ
사인 그래프의 산 하나는 x = π/(2a)를 축으로 좌우 대칭입니다. 두 교점의 합이 π/a라는 사실만 쓰면 θ의 값 자체는 필요 없습니다.
가장 큰 해 = (π/a − θ) + (8π − 2π/a) = 8π − π/a − θ
마지막 주기는 첫 주기를 (4a − 1)주기, 즉 8π − 2π/a만큼 옮긴 것입니다. 첫 주기의 두 번째 교점이 옮겨간 자리가 곧 최대 해입니다.
정답 확인
정답 4 (a = 4)
상세 해설
더 빠른 풀이 · 대칭축 하나로 끝내기
교점을 하나씩 세는 대신, 교점 전체가 어떤 직선에 대해 대칭인지를 먼저 잡으면 계산이 두 줄로 끝납니다.
이 방식의 장점은 sin의 값 5/8이 한 번도 등장하지 않는다는 점입니다. 직선의 높이가 5든 3이든, 진폭보다 작기만 하면 답이 똑같이 나온다는 사실도 함께 보입니다. 문제에 주어진 8과 5는 교점이 존재한다는 것을 보장하는 장치일 뿐입니다.
실수를 줄이는 노하우
- 가장 큰 해를 8π로 두면 안 됩니다. x = 8π에서 f(8π) = 8 sin 8aπ = 0이므로 구간의 오른쪽 끝은 교점이 아닙니다. 구간 끝과 마지막 교점은 항상 구분해서 표시하세요.
- 마지막 교점까지의 평행이동을 한 주기 적게 세면 가장 큰 해가 8π − 2π/a − θ가 되고, 합이 8π − 2π/a = 31π/4에서 a = 8로 흘러갑니다. 옮기는 양은 (4a − 1)주기임을 그림에 화살표로 적어 두세요.
- θ = (1/a)·(sin의 값이 5/8이 되는 각)을 실제로 구하려 하지 마세요. 특수각이 아니므로 계산이 끝나지 않습니다. 합에서 소거된다는 것을 확인한 뒤 문자로 남겨 두세요.
- 주기를 π/a로 잘못 쓰는 실수가 잦습니다. y = sin ax의 주기는 2π/a입니다. 주기가 절반이 되면 4a가 8a로 바뀌어 이후 모든 개수가 어긋납니다.
- a를 구한 뒤 반드시 대입해 확인하세요. a = 4면 주기는 π/2이고 구간에 16주기가 들어갑니다. 합이 8π − π/4 = 31π/4로 문제의 값과 맞는지 15초 안에 검산됩니다.
풀이 영상
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