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기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고2 전국연합학력평가 · 수학
기본 점수 확보
4점
2026년 9월 고2 전국연합학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 수열
- 등비수열의 일반항
- 등비수열의 합
- 공비 사이의 관계식
- r² = t 치환
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 두 개의 등비수열을 공비 하나로 통일하는 문제입니다. 첫째항이 서로 같다는 조건이 앞에 놓인 이유가 여기에 있습니다. bₖ/aₖ 같은 분수를 만들면 첫째항은 분자와 분모에서 그대로 약분되어 사라지고, 남는 것은 두 공비의 비뿐입니다. 그래서 실제로 다루어야 할 미지수는 처음부터 두 개가 아니라 한 개입니다.
26번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 치환의 타이밍에 있습니다. 조건을 정리하면 91 = 1 + r² + r⁴이라는 사차식이 나오는데, 이것을 사차방정식으로 보고 달려들면 길이 막힙니다. r²를 하나의 문자로 묶는 순간 인수분해되는 이차식이 되고, 나머지는 지수를 세는 일만 남습니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 첫째항이 같으면 첫째항은 사라진다
aₖ = a·r^(k−1), bₖ = a·R^(k−1) → bₖ/aₖ = (R/r)^(k−1)
첫째항 a는 분자·분모에서 약분됩니다. 두 수열을 나눈 수열은 공비가 R/r인 새로운 등비수열입니다.
aₖ = a·r^(k−1), bₖ = a·R^(k−1) → bₖ/aₖ = (R/r)^(k−1)
첫째항 a는 분자·분모에서 약분됩니다. 두 수열을 나눈 수열은 공비가 R/r인 새로운 등비수열입니다.
② a₇ = b₃가 두 공비를 잇는 다리
a·r⁶ = a·R² → r⁶ = R² → R = r³
모든 항이 양수이므로 r > 0, R > 0입니다. 제곱근을 풀 때 음의 값은 이 조건에서 걸러집니다.
a·r⁶ = a·R² → r⁶ = R² → R = r³
모든 항이 양수이므로 r > 0, R > 0입니다. 제곱근을 풀 때 음의 값은 이 조건에서 걸러집니다.
③ 91을 r에 대한 이차식으로
R/r = r² → 1 + r² + r⁴ = 91, r² = t → t² + t − 90 = 0
(t − 9)(t + 10) = 0이고 t = r² > 0이므로 t = 9, 즉 r = 3입니다.
R/r = r² → 1 + r² + r⁴ = 91, r² = t → t² + t − 90 = 0
(t − 9)(t + 10) = 0이고 t = r² > 0이므로 t = 9, 즉 r = 3입니다.
④ 구하는 합은 지수만 세면 된다
a_(k+1)/bₖ = r^k / R^(k−1) = r^k / r^(3k−3) = r^(3−2k)
분자가 aₖ가 아니라 a_(k+1)이므로 지수가 k−1이 아닌 k입니다. 이 한 칸 차이가 답을 가릅니다.
a_(k+1)/bₖ = r^k / R^(k−1) = r^k / r^(3k−3) = r^(3−2k)
분자가 aₖ가 아니라 a_(k+1)이므로 지수가 k−1이 아닌 k입니다. 이 한 칸 차이가 답을 가릅니다.
정답 확인
정답 118 (q/p = 91/27, p = 27, q = 91)
상세 해설
더 빠른 풀이 · 모든 항을 r의 거듭제곱 하나로
R를 끝까지 문자로 끌고 가면 식이 두 배로 길어집니다. R = r³을 얻는 즉시 대입해 버리면 이 문항은 지수 계산만 남습니다.
1단계 a₇ = b₃에서 R = r³을 먼저 확정하고, 이후 등장하는 모든 R를 r³으로 바꿔 적으세요. 미지수가 하나로 줄어 검산도 쉬워집니다.
2단계 첫 번째 합은 1 + r² + r⁴이므로, 방정식을 세우기 전에 91 = 1 + 9 + 81임을 먼저 떠올리세요. 91이 세 항의 합으로 딱 떨어지므로 r² = 9가 눈으로 보입니다. 이 관찰이 안 되면 그때 치환해 이차방정식을 푸세요.
3단계 두 번째 합은 지수가 3 − 2k이므로 k = 1, 2, 3에서 r, r⁻¹, r⁻³입니다. r = 3을 넣으면 3 + 1/3 + 1/27이고, 분모를 27로 통일하면 (81 + 9 + 1)/27 = 91/27입니다.
91이 두 번 등장하는 것은 우연이 아닙니다. 두 합 모두 1, r², r⁴을 재배열한 형태라 분자가 같아지고, 분모만 r³ 즉 27로 바뀝니다. 이 구조를 알아채면 마지막 계산은 암산으로 끝납니다.
실수를 줄이는 노하우
- 두 번째 합의 분자는 a_(k+1)입니다. aₖ로 착각하면 aₖ/bₖ = r^(−2(k−1))가 되어 1 + 1/9 + 1/81 = 91/81이 나오고, p + q가 172로 흘러갑니다. 첨자를 손가락으로 짚으며 k와 k+1을 구분하세요.
- bₖ/aₖ의 공비는 r가 아니라 R/r = r²입니다. 여기서 r로 잘못 잡으면 1 + r + r²= 91이 되어 자연수 해가 나오지 않습니다. 새 수열의 공비부터 먼저 적어 두세요.
- t² + t − 90 = 0의 해는 9와 −10입니다. t = r²이므로 음수 해는 버립니다. “모든 항이 양수”라는 조건이 이 지점을 위해 문제에 들어가 있습니다.
- r⁶ = R²에서 R = ±r³로 두고 음수를 남기지 마세요. 공비가 음수면 항의 부호가 번갈아 바뀌어 양수 조건과 어긋납니다.
- 답을 적기 전 91과 27이 서로소인지 확인하세요. 91 = 7 × 13, 27 = 3³이므로 더 약분되지 않습니다. 기약분수 확인을 건너뛰면 p, q를 잘못 읽습니다.
풀이 영상
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