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기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 코사인함수의 최대·최소
- 정의역이 제한된 구간
- 그래프 개형 그리기
- cos x = t 치환
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 코사인함수의 최대·최소를 잘려 있는 구간에서 다시 판단하게 하는 문제입니다. 미지수 a는 양수이므로 2a도 양수이고, 그래서 cos x가 커지면 f(x)도 커집니다. 즉 f의 최대·최소는 결국 이 구간에서 cos x가 어디까지 올라가고 어디까지 내려가는지 하나로 결정됩니다. a는 그 뒤에 최댓값과 최솟값의 곱이라는 조건 하나로 확정하면 됩니다.
난이도의 정체는 정의역 제한입니다. cos의 최댓값은 1, 최솟값은 −1이라는 문장을 그대로 가져오면 최댓값 자리에서 틀립니다. cos x = 1이 되는 x = 0은 주어진 구간 밖이기 때문입니다. 반대로 최솟값이 나오는 x = π는 구간 안에 들어 있어, 두 극단 중 하나만 살아남는 비대칭 구조가 이 문항의 함정입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 구간을 먼저 그림으로 옮기기
π/3 ≤ x ≤ 4π/3
이 구간은 π를 가운데에 품고 있습니다. 코사인 곡선은 π에서 골짜기 바닥을 지나므로, 구간 안에 최저점이 통째로 들어 있다는 뜻입니다.
π/3 ≤ x ≤ 4π/3
이 구간은 π를 가운데에 품고 있습니다. 코사인 곡선은 π에서 골짜기 바닥을 지나므로, 구간 안에 최저점이 통째로 들어 있다는 뜻입니다.
② 구간에서 cos x가 움직이는 범위
cos(π/3) = 1/2, cos π = −1, cos(4π/3) = −1/2
왼쪽 끝에서 시작해 π까지 계속 내려갔다가 다시 조금 올라옵니다. 따라서 cos x의 최댓값은 왼쪽 끝의 1/2, 최솟값은 −1입니다.
cos(π/3) = 1/2, cos π = −1, cos(4π/3) = −1/2
왼쪽 끝에서 시작해 π까지 계속 내려갔다가 다시 조금 올라옵니다. 따라서 cos x의 최댓값은 왼쪽 끝의 1/2, 최솟값은 −1입니다.
③ 양수 배와 평행이동은 순서를 바꾸지 않는다
f(x) = 2a·cos x + a (a > 0)
cos x에 양수 2a를 곱하고 a를 더한 함수이므로 대소 관계가 그대로 유지됩니다. cos x가 최대인 곳에서 f도 최대, 최소인 곳에서 f도 최소입니다.
f(x) = 2a·cos x + a (a > 0)
cos x에 양수 2a를 곱하고 a를 더한 함수이므로 대소 관계가 그대로 유지됩니다. cos x가 최대인 곳에서 f도 최대, 최소인 곳에서 f도 최소입니다.
④ 최댓값과 최솟값을 a로 표현하기
M = 2a × (1/2) + a = 2a, m = 2a × (−1) + a = −a
두 값을 곱한 것이 −8이라는 조건이 곧 a에 대한 이차방정식이 됩니다. a가 양수라는 단서는 마지막에 부호를 고르는 데 쓰입니다.
M = 2a × (1/2) + a = 2a, m = 2a × (−1) + a = −a
두 값을 곱한 것이 −8이라는 조건이 곧 a에 대한 이차방정식이 됩니다. a가 양수라는 단서는 마지막에 부호를 고르는 데 쓰입니다.
정답 확인
정답 2
상세 해설
더 빠른 풀이 · cos x를 t로 바꿔 일차함수로 보기
그래프를 그리는 대신 코사인값 자체를 변수로 바꾸면, 삼각함수 문제가 일차함수의 최대·최소 문제로 내려앉습니다.
1단계 cos x = t로 두고 t의 범위부터 확정하세요. π/3 ≤ x ≤ 4π/3에서 코사인값은 1/2에서 −1까지 훑고 −1/2로 돌아오므로 −1 ≤ t ≤ 1/2입니다. 이 한 줄이 이 문항의 전부입니다.
2단계 f = 2at + a는 t에 대한 일차함수이고 기울기 2a가 양수입니다. 그러니 t의 양 끝만 대입하면 됩니다. t = 1/2에서 최댓값, t = −1에서 최솟값이 나옵니다.
3단계 두 값을 곱해 −2a² = −8을 만들고 a² = 4를 얻으세요. 양수 조건으로 부호를 고르면 끝입니다.
이 방법의 장점은 t의 범위를 구하는 순간 실수 지점이 한 곳으로 모인다는 것입니다. 단위원에서 π/3부터 4π/3까지 손가락으로 훑으며 x좌표가 어디까지 갔다 오는지만 확인하면, 나머지는 일차함수 계산입니다.
실수를 줄이는 노하우
- 가장 많이 나오는 실수는 최댓값을 3a로 잡는 것입니다. cos의 최댓값 1을 반사적으로 쓰면 f = 2a + a = 3a가 되고, 곱이 −3a² = −8이 되어 a가 무리수로 나옵니다. 답이 지저분해지면 정의역부터 다시 보세요.
- 최솟값을 오른쪽 끝 x = 4π/3의 값으로 잡으면 f = 0이 되어 곱이 0이 되고 조건과 어긋납니다. 이 구간은 내려갔다가 다시 올라오는 모양이라 끝점이 최솟값이 아닙니다. 구간 안의 x = π를 반드시 확인하세요.
- cos(4π/3) = −1/2이지만 이 값은 최솟값도 최댓값도 아닙니다. 계산한 세 값을 늘어놓고 가장 큰 것과 가장 작은 것을 고르는 단계를 생략하지 마세요.
- −2a² = −8에서 양변의 음부호를 한쪽만 지우면 a² = −4라는 불가능한 식이 나옵니다. 좌우 부호를 동시에 처리하세요.
- a² = 4에서 a = ±2가 나오지만 문제에 양수 a라는 단서가 있습니다. 단답형은 음수를 쓸 수 없으므로 이 조건은 답을 고르라고 준 장치입니다.
풀이 영상
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