2026년 9월 고2 학력평가 수학 15번 문제 해설 (여러 가지 수열의 합)

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• 수학Ⅰ · 수열
• 여러 가지 수열의 합
• 차의 합(망원 구조)
• 곡선과 직선의 교점
• 좌표로 넓이 나타내기

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 도형의 넓이를 수열의 일반항으로 옮기는 문제입니다. 곡선과 직선의 교점 A_n을 좌표로 구하면 삼각형의 밑변과 높이가 그대로 드러나고, 넓이 S_n은 n에 대한 식 하나로 정리됩니다. 도형 문제처럼 보이지만 실제로 묻는 것은 그 다음 단계, 즉 S_n을 어떤 방식으로 더하느냐입니다.

15번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 합의 구조를 알아보는 눈에 있습니다. Σ 안에 들어 있는 것이 S_k+1 − S_k라는 차의 꼴이므로 24개 항이 연쇄적으로 소거됩니다. 이 구조를 놓치고 S_n의 일반항을 24번 더하려 들면 √ 이 붙은 항들이 정리되지 않아 시험장에서 손이 멈추도록 설계된 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · 필요한 항이 두 개뿐임을 먼저 확정하기

실수를 줄이는 노하우

• A_n의 좌표를 (√n, √n)으로 적는 실수가 가장 많습니다. x = √n을 y = x²에 넣어야 하므로 y좌표는 n입니다. 직선 식에 넣어도 √n × √n = n으로 같은 값이 나오는지 한 번 확인하세요.
• S₁을 빼는 단계를 잊고 S₂₅ = 62.5만 구한 뒤, 선지에서 가까운 값을 골라 ⑤ 63으로 흘러가는 경로가 있습니다. 답이 정수로 떨어지지 않으면 반드시 빼야 할 항이 남아 있다는 신호입니다.
• 위끝 k = 24를 그대로 S₂₄로 옮기지 마세요. 마지막 항은 S₂₄₊₁ − S₂₄이므로 남는 항의 번호는 25입니다. 소거되는 항을 세 개만 직접 써 보면 확실해집니다.
• S₂₅ 계산에서 √25를 25로 잘못 쓰면 ½ × 25 × 25가 되어 값이 선지 범위를 크게 벗어납니다. 선지가 59~63에 몰려 있다는 사실 자체가 검산 도구입니다.
• 마지막에 S₂ − S₁을 직접 계산해 부호와 공식을 점검하세요. ½(2√2 − 1)이 양수로 나오면 S_n이 증가하는 수열이라는 뜻이고, 전체 합도 양수여야 맞습니다.

풀이 영상

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