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기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고2 전국연합학력평가 · 수학
기본 점수 확보
3점
2026년 09월 고2 전국연합학력평가 · 수학
- 수학Ⅰ · 로그
- 로그의 밑변환 공식
- 로그의 역수 관계
- 자연수가 될 조건
- 2의 거듭제곱으로 놓기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 밑이 서로 다른 두 로그를 하나의 밑으로 모으는 문제입니다. 주어진 식에는 밑이 2인 로그와 밑이 n인 로그가 섞여 있고, 이 상태로는 무엇도 판단할 수 없습니다. 밑을 2로 통일하면 식 전체가 log₂n의 상수배 하나로 정리되고, 그 순간 문제는 “log₂n이 어떤 값이어야 하는가”라는 단 하나의 질문으로 바뀝니다.
12번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조건 번역의 정확성에 있습니다. 식이 자연수가 되는 조건과 n이 자연수가 되는 조건, 그리고 2 ≤ n ≤ 100이라는 범위 조건이 서로 다른 층에 놓여 있습니다. 셋 중 하나만 빠져도 답에 들어가는 n의 개수가 달라지도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 로그의 역수 관계
1 / log_a b = log_b a
분모에 로그가 통째로 있으면 뒤집어서 밑과 진수를 바꿉니다. 이 문항의 1/log_n4는 곧 log₄n입니다. 여기서 이미 밑이 n에서 4로 옮겨 갑니다.
1 / log_a b = log_b a
분모에 로그가 통째로 있으면 뒤집어서 밑과 진수를 바꿉니다. 이 문항의 1/log_n4는 곧 log₄n입니다. 여기서 이미 밑이 n에서 4로 옮겨 갑니다.
② 밑변환으로 밑을 2로 통일
log₄n = log₂n / log₂4 = ½ log₂n
밑 4는 2의 제곱이므로 계수 ½이 앞으로 빠져나옵니다. 원래 식은 log₂n + ½log₂n, 즉 log₂n 하나의 상수배로 정리됩니다.
log₄n = log₂n / log₂4 = ½ log₂n
밑 4는 2의 제곱이므로 계수 ½이 앞으로 빠져나옵니다. 원래 식은 log₂n + ½log₂n, 즉 log₂n 하나의 상수배로 정리됩니다.
③ 자연수 조건을 두 번 쓴다
(식) = k (자연수) → log₂n의 값이 결정됨
먼저 식의 값을 자연수 k로 놓아 log₂n을 k로 표현합니다. 그다음 n 자체가 자연수여야 하므로 log₂n은 0 이상의 정수여야 합니다. 이 두 번째 조건이 k의 범위를 걸러냅니다.
(식) = k (자연수) → log₂n의 값이 결정됨
먼저 식의 값을 자연수 k로 놓아 log₂n을 k로 표현합니다. 그다음 n 자체가 자연수여야 하므로 log₂n은 0 이상의 정수여야 합니다. 이 두 번째 조건이 k의 범위를 걸러냅니다.
④ 남는 것은 2의 거듭제곱뿐
n = 2ᵗ (t는 정수), 2 ≤ n ≤ 100
조건을 통과한 n은 모두 2의 거듭제곱 꼴입니다. 마지막에 2 ≤ n ≤ 100 안에 들어오는 것만 골라 합을 구하면 됩니다.
n = 2ᵗ (t는 정수), 2 ≤ n ≤ 100
조건을 통과한 n은 모두 2의 거듭제곱 꼴입니다. 마지막에 2 ≤ n ≤ 100 안에 들어오는 것만 골라 합을 구하면 됩니다.
정답 확인
정답 ④ 모든 n의 값의 합 = 84
상세 해설
더 빠른 풀이 · n을 2ᵗ로 먼저 놓고 시작하기
식을 정리한 뒤에 n을 찾는 대신, 처음부터 n의 꼴을 좁혀 놓고 들어가면 미지수 k를 도입할 필요가 없습니다.
1단계 식의 값이 자연수라면 log₂n은 유리수여야 합니다. 그런데 n은 자연수이므로 log₂n이 유리수가 되는 경우는 n이 2의 거듭제곱일 때뿐입니다. 그러니 처음부터 n = 2ᵗ (t는 자연수)로 놓으세요.
2단계 n = 2ᵗ를 넣으면 식의 값은 곧바로 (3/2)t가 됩니다. 이 값이 자연수가 되려면 t가 짝수여야 한다는 결론이 한 줄로 나옵니다.
3단계 2 ≤ 2ᵗ ≤ 100에서 t는 6까지만 가능합니다. 짝수인 t를 작은 것부터 적고 각각의 2ᵗ를 더하면 끝입니다. 2의 거듭제곱 표를 8까지 외워 두면 범위 판정이 3초입니다.
“자연수 n에 log가 붙어 있고 결과가 자연수·정수”라는 조건이 보이면, n은 밑의 거듭제곱이라고 먼저 의심하는 것이 정석입니다. 미지수를 하나 덜 세우는 만큼 실수할 자리도 줄어듭니다.
실수를 줄이는 노하우
- 1/log_n4를 log_n(1/4)이나 −log_n4로 바꾸면 안 됩니다. 분수 전체의 역수는 밑과 진수를 맞바꾸는 것이지 부호를 뒤집는 것이 아닙니다. 공식 1/log_a b = log_b a를 그대로 적용하세요.
- log₄n을 log₂n으로 고칠 때 붙는 계수는 2가 아니라 ½입니다. 밑이 커지면 로그값은 작아집니다. 밑변환 뒤에는 log₄16 = 2처럼 아는 값을 넣어 계수를 검산하세요.
- (3/2)log₂n = k에서 log₂n = (2/3)k입니다. 분수를 뒤집어 (3/2)k로 옮기면 log₂n이 3, 6, 9가 되어 n = 8, 64만 남고 합이 72, 즉 ②로 흘러갑니다. 이항이 아니라 양변에 2/3을 곱하는 것입니다.
- k가 3의 배수라는 결론을 n이나 log₂n에 그대로 옮겨 적지 마세요. 3의 배수인 것은 k이고, 그 결과 log₂n이 짝수가 됩니다. 문자 하나를 건너뛸 때마다 조건이 무엇에 걸린 것인지 다시 쓰세요.
- 범위는 n에 걸린 조건이지 지수에 걸린 조건이 아닙니다. 2 ≤ n ≤ 100을 만족하는 2의 거듭제곱은 64까지이고 다음 값은 100을 넘습니다. 마지막에 후보를 하나씩 대입해 100 이하인지 확인하고 답을 적으세요.
풀이 영상
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번호를 누르면 해당 문항의 해설·분석 포스트로 이동합니다. (2026년 9월 고2 전국연합학력평가 수학)