2026년 9월 고2 학력평가 수학 9번 문제 해설 (로그의 밑변환)

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• 수학Ⅰ · 로그
• 로그의 밑변환
• log_b a와 logₐb의 역수 관계
• 로그의 차 = 진수의 몫
• 미지수를 하나로 줄이기

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 밑이 제각각인 로그 두 개를 a와 b 사이의 관계식 두 개로 바꾸는 문제입니다. 첫 번째 조건에는 밑이 5와 b, 두 번째 조건에는 밑이 4와 a가 섞여 있습니다. 밑이 다르면 계산이 시작되지 않으므로, 밑변환 공식으로 밑을 통일하는 작업이 첫 단추입니다. 밑만 정리되면 남는 것은 이차방정식 하나입니다.

9번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 변환의 순서에 있습니다. 첫 조건에서 a = b²를 먼저 얻어야 두 번째 조건의 logₐb가 곧바로 1/2로 확정되고, 그 순서를 뒤집으면 미지수 두 개가 그대로 남아 식이 엉킵니다. 어느 조건을 먼저 쓰느냐로 풀이 시간이 갈리는 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · 미지수를 b 하나로 줄이기

실수를 줄이는 노하우

• 첫 조건의 결과는 log_b a = 2이지 logₐb = 2가 아닙니다. 이를 뒤집어 b = a²로 놓으면 두 번째 조건이 a = 16(b+4)로 바뀌어 b > 1을 만족하는 해가 아예 나오지 않습니다. 답이 안 나오고 막힌다면 이 지점을 먼저 의심하세요.
• log₄ {a/(b+4)} = 1/2에서 진수는 4의 1/2제곱인 2입니다. 1/2을 그대로 진수 자리에 옮겨 적으면 2a = b + 4가 되어 이차방정식의 근이 정수로 떨어지지 않습니다. 근이 지저분하면 이 변환을 다시 보세요.
• a = 2(b + 4)에서 괄호를 풀 때 2b + 8입니다. 2b + 4로 적는 분배 실수가 가장 흔하고, 이 경우 b² − 2b − 4 = 0이 되어 무리수 근이 나옵니다.
• b² − 2b − 8 = 0의 두 근은 4와 −2입니다. 문제의 조건은 1보다 큰 두 실수이므로 −2는 버립니다. 로그의 밑은 1이 아닌 양수라는 조건이 이미 문제에 명시돼 있으니 근을 구한 뒤 반드시 대조하세요.
• 구하는 값은 a + b입니다. b = 4나 a = 16에서 멈추면 선지에 없는 값이 나옵니다. 마지막에 문제가 무엇을 물었는지 한 번 더 읽는 15초가 이 문항에서는 3점입니다.

풀이 영상

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