2
기본 점수 확보
2점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
기본 점수 확보
2점
2026년 09월 고2 학력평가 · 수학
- 수학Ⅱ · 함수의 극한
- 0/0 꼴 부정형
- 인수분해와 약분
- 인수정리
- 미분계수 정의 활용
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 분모를 0으로 만드는 값을 그대로 대입할 수 없을 때, 식을 어떻게 바꿔 대입 가능한 상태로 만드는지를 묻는 문제입니다. x = 3을 넣으면 분모도 0, 분자도 0이 되어 계산이 멈춥니다. 이때 필요한 것은 새로운 공식이 아니라 분자와 분모가 공유하는 인수를 찾아 없애는 작업입니다.
2번에 배치된 이유는 절차의 정형성에 있습니다. 0/0 꼴 → 인수분해 → 약분 → 대입이라는 네 단계가 고정되어 있어서, 순서만 외우고 있으면 30초 안에 끝납니다. 반대로 첫 단계에서 “분모가 0이니 발산”이라고 판단해 버리면 손도 못 대는 문항이기도 합니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 먼저 대입해서 꼴을 판정한다
분자 3² − 3 − 6 = 0, 분모 3 − 3 = 0
위아래가 모두 0이면 0/0 꼴입니다. 이 판정을 해야 다음에 무엇을 할지가 정해집니다. 분모만 0이고 분자가 0이 아니면 발산이므로 처리 방법이 완전히 달라집니다.
분자 3² − 3 − 6 = 0, 분모 3 − 3 = 0
위아래가 모두 0이면 0/0 꼴입니다. 이 판정을 해야 다음에 무엇을 할지가 정해집니다. 분모만 0이고 분자가 0이 아니면 발산이므로 처리 방법이 완전히 달라집니다.
② 분자가 x = 3에서 0이면 (x − 3)을 인수로 갖는다
f(3) = 0 ⇔ f(x)는 (x − 3)을 인수로 가짐
인수정리입니다. 인수분해를 시도하기 전에 (x − 3)이 반드시 나온다는 것을 알고 시작하므로, 나머지 인수 하나만 찾으면 됩니다.
f(3) = 0 ⇔ f(x)는 (x − 3)을 인수로 가짐
인수정리입니다. 인수분해를 시도하기 전에 (x − 3)이 반드시 나온다는 것을 알고 시작하므로, 나머지 인수 하나만 찾으면 됩니다.
③ 곱해서 −6, 더해서 −1인 두 수
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
−3과 +2입니다. 부호가 다른 두 수이므로 큰 쪽의 부호가 −1의 부호를 결정합니다.
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2)
−3과 +2입니다. 부호가 다른 두 수이므로 큰 쪽의 부호가 −1의 부호를 결정합니다.
④ x → 3은 x = 3이 아니다
x ≠ 3이므로 (x − 3)으로 나눌 수 있다
극한은 x = 3 자체가 아니라 3 주변의 값만 봅니다. 그래서 0으로 나누는 것이 아니고, 약분이 정당합니다. 약분 후 남은 식은 다항함수이므로 그대로 대입하면 됩니다.
x ≠ 3이므로 (x − 3)으로 나눌 수 있다
극한은 x = 3 자체가 아니라 3 주변의 값만 봅니다. 그래서 0으로 나누는 것이 아니고, 약분이 정당합니다. 약분 후 남은 식은 다항함수이므로 그대로 대입하면 됩니다.
정답 확인
정답 ⑤ 5
상세 해설
더 빠른 풀이 · 미분계수의 정의로 읽기
분자를 f(x)라 두면 이 극한은 미분계수의 정의와 똑같은 모양입니다. 인수분해 없이 미분 한 번으로 끝납니다.
1단계 f(x) = x² − x − 6으로 놓고 f(3)의 값을 확인하세요. 0이 나옵니다. 이때만 이 방법을 쓸 수 있습니다.
2단계 f(3) = 0이므로 주어진 식은 {f(x) − f(3)} / (x − 3)과 같습니다. 이 꼴의 극한이 곧 f′(3)입니다.
3단계 f′(x) = 2x − 1이므로 x = 3을 대입하면 값이 바로 나옵니다. 인수분해를 한 번도 하지 않습니다.
분자가 삼차 이상이거나 인수분해가 잘 안 보이는 문항에서 특히 강합니다. 다만 f(3) = 0을 먼저 확인하지 않고 쓰면 완전히 다른 값이 나오므로, 0/0 꼴 판정은 어느 방법을 쓰든 생략할 수 없습니다.
실수를 줄이는 노하우
- 분모가 0이라고 해서 곧바로 “극한값이 없다”로 넘어가지 마세요. 분자도 0인지 반드시 함께 확인해야 합니다. 이 확인 한 줄이 이 문항의 절반입니다.
- 인수분해에서 부호가 뒤집히기 쉽습니다. (x + 3)(x − 2)로 쓰면 전개했을 때 x² + x − 6이 되어 원래 식과 다릅니다. 인수분해 직후에는 x = 3을 넣어 0이 되는지로 1초 만에 검산하세요.
- (x − 3)(x − 2)로 잘못 분해하면 약분 후 x − 2가 남아 3 − 2 = 1, 즉 ①로 흘러갑니다. 상수항 −6이 곱해서 −6이 되는지 확인하면 이 실수는 걸러집니다.
- 약분 후 남은 식이 x + 2인데 +2를 빠뜨리고 x만 대입하면 3이 되어 ③으로 흘러갑니다. 약분은 분수를 없애는 작업이지 남은 항을 없애는 작업이 아닙니다.
- 답을 낸 뒤 x에 3.01 같은 근처 값을 넣어 원래 식이 5 부근으로 나오는지 확인해 보세요. 부호 실수와 대입 실수를 동시에 잡아냅니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요.
전문항 해설 바로가기
번호를 누르면 해당 문항의 해설·분석 포스트로 이동합니다. (2026년 9월 고2 전국연합학력평가 수학)