번호값 못 하는 득점 문항
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학(확률과통계)
모평균·모분산
V(X)=E(X²)−{E(X)}²
시그마 식 번역
표본합
문제
0, 1, 2가 하나씩 적힌 세 개의 공이 든 주머니에서 임의로 한 개를 꺼내 적힌 수를 확인하고 다시 넣는 시행을 5번 반복합니다. 확인한 5개 수의 평균을 라 할 때
Σk=110 (k² × P( = k5)) = a
입니다. 6 × a의 값을 구하는 문제입니다. [4점]
출제의도
이 문항이 학생을 흔드는 지점은 딱 하나, 시그마 안이 (k/5)²이 아니라 k²이라는 것입니다. 확률 쪽은 P( = k/5)로 의 이야기를 하는데, 곱해지는 값만 가 아닌 k입니다. 이 어긋남 때문에 “그럼 P(=0/5), P(=1/5), … 11개를 다 구해야 하나” 하는 생각이 먼저 듭니다. 그 길로 들어가면 5번 시행에서 합이 k가 되는 경우의 수를 전부 세야 하고, 시험장에서는 그대로 끝납니다.
출제자가 요구하는 것은 정반대입니다. 확률을 하나도 구하지 말라는 것입니다. k = 5 × k5이므로 k² = 25 × (k5)²이고, 25는 상수라 시그마 밖으로 빠집니다. 남는 Σ (k/5)² × P( = k/5)는 정의 그대로 E(²)입니다. 즉 이 문제는 “제곱의 평균을 구하라”를 한 겹 포장해 둔 것뿐입니다.
여기까지 오면 남은 것은 교과서 공식 세 줄입니다. E(²) = V() + {E()}²로 바꾸고, 표본평균의 평균과 분산 E() = m, V() = σ²n을 쓰기 위해 모집단 X의 m과 σ²만 구하면 됩니다. 30번 자리에 이런 문항이 놓인 이유는 “공식을 아는가”가 아니라 “시그마 식을 공식이 적용되는 모양으로 바꿀 수 있는가”를 보기 위해서입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 모집단부터 세우세요. 꺼낸 공에 적힌 수를 X라 하면 X는 0, 1, 2를 각각 확률 13로 갖습니다. 이것이 모집단의 확률분포이고, 여기서 모평균 m과 모분산 σ²를 구해 두는 것이 모든 것의 출발점입니다. σ²는 V(X) = E(X²) − {E(X)}²로 계산합니다.
그다음, 시그마 식을 노려보세요. 확률 자리에는 = k5가 들어 있는데 곱해지는 값은 k²입니다. k와 k/5는 상수배 관계입니다. k를 k/5로 바꿔 쓰면 앞에 무엇이 붙을까요? 그 상수를 시그마 밖으로 빼내고 나면, 남은 식이 이미 배운 어떤 기댓값의 정의와 정확히 같은 모양이 됩니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
k² = 25(k5)²이므로 주어진 합은 25 × Σ (k5)² P( = k5)입니다. 가 가질 수 있는 값이 0 ≤ k ≤ 10인 정수 k에 대해 k/5뿐이므로, 이 합은 E(²)와 같습니다. 단 문제의 시그마는 k = 1부터인데 정의는 k = 0부터입니다. 이 차이를 어떻게 처리할지 한 줄로 정리해 두세요 — 처리한다기보다, 차이가 없다는 것을 확인하는 쪽입니다.
E(²)는 확률을 나열해 구하는 것이 아니라 E(²) = V() + {E()}²로 뒤집어 구합니다. 표본의 크기가 5이므로 E() = m, V() = σ²5를 대입하면 값이 나옵니다. 마지막에 6을 곱하라고 한 이유도 답을 내면 바로 보입니다.
정답 확인
정답 170 (a = 85/3)
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A모집단의 평균과 분산을 먼저 확보한다
꺼낸 공에 적힌 수를 X라 하면 X의 확률분포는 다음과 같습니다.
| X | 0 | 1 | 2 | 합계 |
|---|---|---|---|---|
| P(X = x) | 13 | 13 | 13 | 1 |
E(X) = 0 × 13 + 1 × 13 + 2 × 13 = 1
E(X²) = 0² × 13 + 1² × 13 + 2² × 13 = 53이므로
V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 53 − 1 = 23
여기서 나눗수는 3입니다 — 세 개의 공 각각이 확률 1/3인 모집단의 분포이지 표본이 아닙니다. n−1로 나누는 표본분산 개념을 끌어오면 처음부터 어긋납니다.
STEP B표본평균의 평균과 분산을 공식으로 얹는다
다시 넣는 시행(복원추출)을 5번 반복했으므로 는 크기가 5인 표본의 표본평균입니다. 모평균 m = 1, 모분산 σ² = 23, n = 5를 공식에 넣으면
E() = m = 1 , V() = σ²n = 23 × 15 = 215
따라서 제곱의 평균은 정의를 되짚지 않고 곧바로 나옵니다.
E(²) = V() + {E()}² = 215 + 1 = 1715
STEP C시그마 식을 E(²) 모양으로 번역한다
먼저 시작점을 맞춥니다. 가 가질 수 있는 값은 5개 수의 합이 k(0 ≤ k ≤ 10인 정수)일 때의 k5이고, k = 0인 항은 0² × P = 0이므로 있어도 없어도 같습니다.
Σk=110 (k² P) = Σk=010 (k² P)
이제 k를 의 값으로 갈아끼웁니다. k = 5 × k5이므로 k² = 25(k5)²이고, 상수 25는 시그마 밖으로 나옵니다.
= 25 Σk=010 {(k5)² × P( = k5)} = 25 × E(²)
이 한 줄이 이 문항의 전부입니다 — “값 × 그 값이 나올 확률”을 모든 값에 대해 더한 것이 기댓값의 정의입니다. 시그마를 보면 더해지는 값이 확률변수의 함수인가를 먼저 확인하는 습관을 들이세요. 맞다면 그 시그마는 계산 대상이 아니라 기댓값 기호로 접어 버릴 대상입니다.
STEP D대입하고 6을 곱한다
a = 25 × 1715 = 853
6 × a = 6 × 853 = 170
마지막에 곱하는 6은 장식이 아닙니다. a가 853이라는 분수이므로 단답형 답으로 낼 수 없고, 분모 3을 지우기 위해 붙여 둔 계수입니다. 계산 도중 분모에 3이 남았다면 길을 제대로 가고 있다는 신호로 읽으세요.
1등급 다른 풀이 · 평균 대신 합으로 보면 25가 아예 안 나온다
시그마 안의 k를 억지로 k/5로 바꾸는 대신, k가 원래 무엇이었는지를 되짚는 풀이가 있습니다. 5번 뽑은 수의 합을 T = X₁ + X₂ + ⋯ + X₅라 하면 = T5이므로
P( = k5) = P(T = k)
즉 문제의 합은 처음부터 Σ k² P(T = k) = E(T²)였습니다. 25를 곱하고 나눌 일이 없습니다. T는 서로 독립인 5개의 확률변수의 합이므로
E(T) = 5m = 5 , V(T) = 5σ² = 5 × 23 = 103
a = E(T²) = V(T) + {E(T)}² = 103 + 25 = 853
따라서 6a = 170으로 같습니다. 이 풀이의 값어치는 계산이 짧다는 데 있지 않고, k가 등장하는 문제에서 k에 이름을 붙여 주면 시그마가 저절로 기댓값이 된다는 관점에 있습니다. 표본평균 문제에서 분모 n이 계속 걸리적거릴 때 표본합으로 갈아타는 것은 그대로 쓸 수 있는 무기입니다. 다만 답안에 쓸 때는 “표본합의 분산은 각 항의 분산의 합”이라는 독립성 근거를 한 줄 붙여야 완결됩니다.
실수를 줄이는 전략
- P( = k/5)를 실제로 구하려 드는 것이 1순위 시간 함정입니다. 합이 k가 되는 경우의 수를 세려면 11가지를 전부 따져야 하고, 4점 단답형이 요구하는 작업량이 아닙니다. 확률이 구체적으로 필요하지 않고 통째로 더해지기만 한다면, 그것은 기댓값 공식으로 접으라는 신호입니다.
- k²을 그대로 두고 Σ(k/5)²P만 E(²)로 바꾼 뒤 25를 곱하는 것을 잊는 실수가 가장 흔합니다. 이 경우 a = 17/15, 6a = 34/5가 나와 정수가 아니게 됩니다. 답이 정수로 안 떨어지면 25 곱셈을 빠뜨린 것입니다.
- 25 대신 5를 곱하는 실수도 잦습니다. 상수배는 제곱 안쪽에 있으므로 밖으로 나올 때 5² = 25가 됩니다.
- V() = σ²/n에서 n 대신 √n으로 나누는 혼동 — √n으로 나누는 것은 표준편차 σ()입니다. 분산과 표준편차 중 지금 필요한 것이 무엇인지 대입 전에 확인하세요.
- 모분산 V(X) = 2/3을 구할 때 (편차)²의 합을 2로 나누는(표본분산식) 실수. 이 문항의 표는 모집단의 확률분포이므로 분산은 각 값에 확률을 곱해 더하는 방식뿐입니다.
- 시그마가 k = 1부터 시작하는 것을 보고 k = 0 항을 빼야 한다고 판단해 계산을 비트는 경우가 있습니다. k = 0 항은 0² × P = 0이라 더해도 값이 변하지 않습니다. 답안에는 “0이므로 k = 0을 포함해도 같다”를 한 줄 쓰고 넘어가면 됩니다.
- 마지막 6 곱하기를 잊고 a = 85/3을 답으로 적는 경우 — 단답형 답은 정수여야 합니다. 구하는 것이 a인지 6a인지를 문제로 돌아가 확인하는 데 5초면 충분합니다.
이 유형이 약하면 여기를 푸세요
유형 이름: 표본평균의 평균과 분산 — 모평균·모분산을 구해 E(), V()에 대입하는 유형 (통계 · 통계적 추정 단원)
쎈 확률과 통계 · 통계적 추정 — 표본평균의 평균, 분산, 표준편차 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 6~8문제
모집단의 확률분포표에서 m과 σ²를 구해 E(X̄) = m, V(X̄) = σ²/n에 대입하는 절차만 반복하는 문항들입니다.
마플시너지 확률과 통계 · 통계적 추정 — E(X²) = V(X) + {E(X)}² 활용 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 5~7문제
제곱의 평균을 분산 공식으로 뒤집어 구하거나, 시그마로 위장된 기댓값을 접어 처리하는 상위 문항이 포함된 유형입니다.
약술형논술·수리논술로 나오면
이 문항은 수능특강 확률과 통계 ‘통계적 추정’ 파트의 표본평균 전형이며, 약술형논술에서는 계산 과정을 순서대로 쓰게 만드는 표준 소재입니다. 값이 170이라는 것보다 “왜 확률을 구하지 않고도 합을 구할 수 있는가”를 한 문장으로 설명할 수 있는지가 점수를 가릅니다. 약술형은 배점이 단계마다 쪼개져 있어서, 답만 맞고 중간 근거가 없으면 절반 이하로 떨어집니다.
답안에 반드시 들어가야 할 문장
- X의 확률분포표를 제시하고 E(X) = 1, E(X²) = 5/3에서 V(X) = E(X²) − {E(X)}² = 2/3임을 보인다.
- 복원추출이므로 가 크기 5인 표본의 표본평균임을 명시하고 E() = m = 1, V() = σ²/5 = 2/15를 쓴다.
- k = 0인 항이 0이므로 시그마의 시작을 k = 1에서 k = 0으로 바꿔도 값이 같음을 밝힌다.
- k² = 25(k/5)²이고 25가 상수이므로 시그마 밖으로 나와 주어진 합이 25 E(²)임을 기댓값의 정의로 연결한다.
- E(²) = V() + {E()}² = 17/15을 쓰고, a = 85/3, 6a = 170으로 마무리한다.
답은 맞았는데 깎이는 지점
- k = 1부터인 시그마를 아무 말 없이 k = 0부터로 바꾼 경우 — 한 항이 0이라는 근거를 쓰지 않으면 범위 변경이 무단 변형으로 읽힙니다.
- “Σ(k/5)²P = E(²)이므로”만 쓰고 기댓값의 정의를 언급하지 않은 경우 — 이 문항에서 배점이 가장 큰 논거가 통째로 빠집니다.
- V() = σ²/n을 근거 없이 사용한 경우 — 표본의 크기가 5이고 복원추출이라는 전제를 먼저 밝혀야 공식이 성립합니다.
- 다른 풀이(표본합 T)로 쓰면서 V(T) = 5σ²의 근거인 독립성을 적지 않은 경우 — 합의 분산은 독립일 때만 분산의 합입니다.
수능에서는 STEP C의 번역을 머릿속으로 하고 넘어가도 되지만, 논술 답안에서는 “기댓값의 정의에 의하여”라는 여섯 글자를 반드시 문장으로 남겨야 점수가 됩니다.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 확률과통계 30번 해설 – 표본평균의 평균과 분산”에 대한 1개의 생각