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킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
- 수학Ⅰ · 지수함수와 로그함수
- 곡선의 평행이동
- 직사각형 조건의 좌표화
- 로그의 정의
- 지수법칙
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 조건 (가)와 (나)를 따로 놓인 두 문제가 아니라 같은 그림을 옮겨 놓은 한 문제로 읽을 수 있는지를 묻습니다. (나)의 이차함수는 (가)의 이차함수를 옮긴 것이고, (나)의 로그함수도 (가)의 지수함수와 짝을 이룹니다. 이 관계를 못 보면 네 점 A, B, C, D의 미지수 네 개를 그대로 끌고 가야 하고, 관계를 보면 C와 D가 B와 A에서 곧바로 결정됩니다.
22번 자리에 놓인 이유는 계산량이 아니라 조건의 번역에 있습니다. “직사각형”이라는 도형 조건은 그 자체로는 식이 아니어서, 마주보는 변의 기울기가 같다는 식과 두 대각선의 중점이 일치한다는 식으로 학생이 직접 옮겨 적어야 합니다. 이 번역을 하나만 쓰면 미지수가 남고, 두 개를 다 써야 u와 v가 s와 r로 정리됩니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 계수 비교로 평행이동 찾기
y = f(x−p) − q ⟺ (p, q)만큼 평행이동
(나)의 이차식에 x−1을 넣고 1을 빼 보면 (가)의 이차식과 정확히 같아집니다. 두 포물선은 (1, −1)만큼 떨어져 있는 같은 곡선입니다.
y = f(x−p) − q ⟺ (p, q)만큼 평행이동
(나)의 이차식에 x−1을 넣고 1을 빼 보면 (가)의 이차식과 정확히 같아집니다. 두 포물선은 (1, −1)만큼 떨어져 있는 같은 곡선입니다.
② 이차함수 위 두 점을 지나는 직선의 기울기
{f(s)−f(r)}/(s−r) = 2(s+r) − 7/2
s²−r²이 (s+r)(s−r)로 인수분해되어 분모가 약분됩니다. 기울기가 두 x좌표의 합만으로 표현되는 것이 핵심입니다.
{f(s)−f(r)}/(s−r) = 2(s+r) − 7/2
s²−r²이 (s+r)(s−r)로 인수분해되어 분모가 약분됩니다. 기울기가 두 x좌표의 합만으로 표현되는 것이 핵심입니다.
③ 직사각형이 주는 식은 두 개
AB ∥ CD (기울기 일치) · AC와 BD의 중점 일치
이 두 식에서 u = s+1, v = r+1이 나옵니다. 즉 C는 B를, D는 A를 (1, −1)만큼 옮긴 점입니다.
AB ∥ CD (기울기 일치) · AC와 BD의 중점 일치
이 두 식에서 u = s+1, v = r+1이 나옵니다. 즉 C는 B를, D는 A를 (1, −1)만큼 옮긴 점입니다.
④ 로그식을 지수식으로 되돌리기
Y = logaX ⟺ X = aY, at = 1 ⟺ t = 0 (a > 1)
점 C, D가 로그곡선 위에 있다는 조건은 지수식으로 바꿔야 ar = r+k와 연결됩니다. 마지막에 밑이 1이 아니라는 조건이 지수를 0으로 확정해 줍니다.
Y = logaX ⟺ X = aY, at = 1 ⟺ t = 0 (a > 1)
점 C, D가 로그곡선 위에 있다는 조건은 지수식으로 바꿔야 ar = r+k와 연결됩니다. 마지막에 밑이 1이 아니라는 조건이 지수를 0으로 확정해 줍니다.
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정답 97
상세 해설
더 빠른 풀이 · 두 곡선을 대칭이동으로 겹쳐 보기
㉣에서 ㉤을 빼는 단계가 길게 느껴진다면, 로그곡선의 정체를 먼저 밝혀 두는 길이 있습니다. k를 연립 없이 한 줄로 잡을 수 있습니다.
1단계 점 (X, Y)가 y = loga(x−1/4) − 1/4 위에 있다는 조건을 지수식으로 되돌리면 X − 1/4 = aY+1/4입니다. 즉 (Y+1/4, X−1/4)가 y = ax 위에 있습니다. 이 대응은 직선 y = x − 1/4에 대한 대칭과 같습니다. (나)의 로그곡선은 (가)의 지수곡선을 이 직선에 대해 뒤집은 것입니다.
2단계 이차함수 관계에서 C = B + (1, −1), D = A + (1, −1)입니다. 벡터 (1, −1)은 직선 y = x − 1/4와 수직이고, 지수곡선은 증가함수라 기울기 −1인 직선과 한 점에서만 만납니다. 따라서 B의 대칭점이 곧 C입니다.
3단계 대칭이면 선분 BC의 중점이 그 직선 위에 있습니다. B(s, s+k), C(s+1, s+k−1)의 중점 (s+1/2, s+k−1/2)를 y = x − 1/4에 넣으면 k = 3/4가 바로 나옵니다. 지수를 비교하는 뺄셈 과정이 통째로 사라집니다.
4단계 이제 A, B는 포물선과 직선 y = x + 3/4의 교점이므로 8x² − 18x + 9 = 0을 풀고, r < s에서 A(3/4, 3/2)를 얻습니다. a3/4 = 3/2이므로 양변을 네제곱해 a³ = 81/16, 따라서 p + q = 97입니다.
이 관점은 “지수함수와 로그함수가 y = x에 대해 대칭”이라는 성질을 평행이동된 대칭축까지 확장한 것입니다. 축이 y = x + c 꼴로 옮겨지는 문항은 매년 반복되므로 한 번 익혀 두면 재사용됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- 평행이동의 부호를 뒤집지 마세요. g(x) = f(x−1) − 1은 오른쪽 1, 아래 1입니다. f(x+1)+1로 잡으면 C, D가 반대쪽으로 가서 이후 계산이 전부 어긋납니다. 계수 비교로 한 번 검산하세요.
- 꼭짓점의 짝을 확인하세요. 직사각형 ABCD는 A→B→C→D 순서이므로 C의 짝은 B, D의 짝은 A입니다. A와 C를 짝지으면 대각선끼리 대응시키는 셈이 되어 중점 조건이 성립하지 않습니다.
- 직사각형 조건을 “평행” 하나로만 쓰지 마세요. 기울기 식 하나만으로는 u+v = r+s+2까지만 나오고 u, v가 따로 결정되지 않습니다. 대각선 중점 일치를 반드시 함께 세워야 u = s+1, v = r+1이 나옵니다.
- 마지막 지수 계산이 최대 함정입니다. a3/4 = 3/2에서 구하는 것은 a³이고, 3은 3/4의 4배이므로 네제곱입니다. 습관적으로 세제곱하면 27/8이 되어 답이 35로 흘러갑니다.
- 답을 낸 뒤 15초만 검산하세요. r = 3/4, s = 3/2에서 B(3/2, 9/4)도 y = ax 위에 있어야 하므로 a3/2 = (3/2)² = 9/4가 맞는지 확인합니다. 그리고 81과 16이 서로소인지도 함께 봅니다.
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“2026년 9월 고3 모의고사 수학 22번 해설 – 지수·로그함수와 직사각형”에 대한 1개의 생각