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킬러 문항
공통
2026년 09월 고3 모의평가 수학
킬러 문항
공통
2026년 09월 고3 모의평가 수학
배점4점
권장 풀이 시간8~10분
이 문제의 등급 의미5분 안에 분모의 판별식까지 못 가면 넘기고 16번부터 푼 뒤 돌아오세요
문제
먼저 8분만 직접 풀어 보고 아래로 내려가세요.
출제의도
이 문항은 “극한값이 존재한다”라는 서술형 조건을 이차식의 계수 조건으로 옮기는 문제입니다. 분모에 놓인 f(x) + f(x−t)를 하나의 이차식으로 묶은 뒤, 그 이차식의 판별식 부호가 t에 따라 어떻게 변하는지를 보는 것이 전부입니다. 극한 자체를 계산하는 과정은 한 번도 나오지 않습니다.
15번 자리에 놓인 이유는 계산량이 아니라 조건 번역의 방향입니다. 보통은 f를 알려 주고 t를 구하게 하는데, 이 문항은 반대로 t의 집합을 먼저 주고 f를 되찾게 합니다. 그래서 주어진 집합의 경계인 t = 3/2에서 무엇이 등호로 성립하는지를 스스로 읽어 내야 하고, 그 지점을 놓치면 식을 세울 출발점 자체가 사라집니다.
이 문제를 풀려면 이것만 알면 됩니다
- 분수꼴 극한의 존재 판정 — 분모가 0이 되는 실수가 아예 없으면 모든 a에서 극한이 존재합니다. 분모가 0이 되는 점이 있다면, 분자도 그 점을 같은 위수 이상의 근으로 가져야 합니다. 분모가 중근이면 분자도 중근이어야 한다는 뜻입니다.
- f(x) + f(x−t)의 정체 — f가 최고차항 계수 1인 이차함수이므로 이 합은 x² 계수가 2인 이차식입니다. 즉 분모는 실근이 0개·1개·2개 중 하나이고, 판별식 하나로 세 경우가 갈립니다.
- t는 판별식 안에만 들어온다 — 이 합의 판별식을 정리하면 t²이 음수 부호로 붙습니다. t가 커질수록 판별식은 작아지므로, 조건을 만족하는 t의 집합이 “t ≥ (어떤 값)” 꼴로 나오는 이유가 여기에 있습니다.
- 분자의 근은 고정되어 있다 — (2x+1)f(x) = 0의 근은 x = −1/2과 f(x) = 0의 두 근뿐이며, t와 아무 관계가 없습니다. 움직이는 분모의 근과 고정된 분자의 근을 맞출 수 있는 상황은 매우 제한적입니다.
정답 확인
정답 ④ f(2) = 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
분모를 하나의 이차식으로 묶고 판별식을 만듭니다
f(x) = x² + px + q로 놓고 g(x) = f(x) + f(x−t)를 전개하면 x² 계수가 2인 이차식이 됩니다. 이 g(x) = 0의 판별식을 4로 나눈 값이 p² − 4q − t²이 되므로, 문자 세 개 중 t만 제곱으로 빠져나온 형태를 얻습니다.
분모를 하나의 이차식으로 묶고 판별식을 만듭니다
f(x) = x² + px + q로 놓고 g(x) = f(x) + f(x−t)를 전개하면 x² 계수가 2인 이차식이 됩니다. 이 g(x) = 0의 판별식을 4로 나눈 값이 p² − 4q − t²이 되므로, 문자 세 개 중 t만 제곱으로 빠져나온 형태를 얻습니다.
STEP B
판별식의 부호로 세 경우를 갈라 판정합니다
판별식의 부호로 세 경우를 갈라 판정합니다
(ⅰ) 판별식 < 0 — 분모가 0이 되는 실수가 없으므로 모든 a에서 극한이 존재합니다. → 조건 만족
(ⅱ) 판별식 > 0 — 분모의 두 근은 t가 변하면 함께 움직이는데, 분자 (2x+1)f(x) = 0의 근은 t와 무관하게 고정되어 있습니다. 움직이는 점과 고정된 점이 계속 겹칠 수는 없습니다. → 불가
(ⅲ) 판별식 = 0 — 분모가 중근을 가지므로 분자도 그 값을 중근으로 가져야만 합니다. → 추가 조건이 붙는 경우
STEP C
집합의 경계에서 등호가 성립한다는 사실을 씁니다
조건을 만족하는 t의 집합이 t ≥ 3/2이라는 것은, t > 3/2에서는 판별식이 음수이고 경계인 t = 3/2에서 정확히 0이 된다는 뜻입니다. 여기서 p² − 4q = 9/4를 얻고, 동시에 그때 분모의 중근이 어디인지도 p로 표현됩니다.
집합의 경계에서 등호가 성립한다는 사실을 씁니다
조건을 만족하는 t의 집합이 t ≥ 3/2이라는 것은, t > 3/2에서는 판별식이 음수이고 경계인 t = 3/2에서 정확히 0이 된다는 뜻입니다. 여기서 p² − 4q = 9/4를 얻고, 동시에 그때 분모의 중근이 어디인지도 p로 표현됩니다.
STEP D
중근의 정체를 확정하고 f를 복원합니다
p² − 4q = 9/4 > 0이므로 f(x) = 0은 서로 다른 두 실근을 가집니다. 따라서 분자가 중근을 가지려면 f의 근 하나가 x = −1/2과 겹치는 수밖에 없고, 분모의 중근도 −1/2이어야 합니다. 두 식을 연립하면 p = 5/2, q = 1이 되어 f(x) = x² + 5/2x + 1이고, 따라서 f(2) = 4 + 5 + 1 = 10이 됩니다.
중근의 정체를 확정하고 f를 복원합니다
p² − 4q = 9/4 > 0이므로 f(x) = 0은 서로 다른 두 실근을 가집니다. 따라서 분자가 중근을 가지려면 f의 근 하나가 x = −1/2과 겹치는 수밖에 없고, 분모의 중근도 −1/2이어야 합니다. 두 식을 연립하면 p = 5/2, q = 1이 되어 f(x) = x² + 5/2x + 1이고, 따라서 f(2) = 4 + 5 + 1 = 10이 됩니다.
시험장에서 3분 줄이는 풀이 스킬
스킬 1 · 전개하지 말고 꼭짓점으로 더하세요
f(x) = (x − m)² + k로 완전제곱 형태로 두면, f(x) + f(x−t)는 축이 두 포물선 축의 중점인 x = m + t/2이고 최솟값이 2k + t²/2인 이차식이 됩니다. 즉 t만큼 벌려 더할 때마다 최솟값이 t²/2씩 올라간다는 사실 하나면 끝납니다. 판별식을 전개하는 서너 줄이 통째로 사라지고, 중근의 위치도 계산 없이 m + t/2로 바로 읽힙니다.
f(x) = (x − m)² + k로 완전제곱 형태로 두면, f(x) + f(x−t)는 축이 두 포물선 축의 중점인 x = m + t/2이고 최솟값이 2k + t²/2인 이차식이 됩니다. 즉 t만큼 벌려 더할 때마다 최솟값이 t²/2씩 올라간다는 사실 하나면 끝납니다. 판별식을 전개하는 서너 줄이 통째로 사라지고, 중근의 위치도 계산 없이 m + t/2로 바로 읽힙니다.
스킬 2 · 부등호로 주어진 집합은 경계값부터 대입하세요
답이 “t ≥ 3/2”처럼 등호가 붙은 집합으로 주어졌다면, 등호가 성립하는 t = 3/2에서 반드시 무언가가 딱 맞아떨어집니다. 이 문항에서는 그것이 판별식 = 0입니다. 부등식을 일반 t로 끌고 다니지 말고 경계값을 먼저 꽂아 등식 하나를 확보한 뒤, 나머지 범위는 부호 방향만 확인하는 것이 훨씬 빠릅니다.
답이 “t ≥ 3/2”처럼 등호가 붙은 집합으로 주어졌다면, 등호가 성립하는 t = 3/2에서 반드시 무언가가 딱 맞아떨어집니다. 이 문항에서는 그것이 판별식 = 0입니다. 부등식을 일반 t로 끌고 다니지 말고 경계값을 먼저 꽂아 등식 하나를 확보한 뒤, 나머지 범위는 부호 방향만 확인하는 것이 훨씬 빠릅니다.
스킬 3 · 움직이는 근과 고정된 근을 먼저 구분하세요
분모의 근에는 t가 들어 있고 분자의 근에는 t가 없습니다. 이 한 줄을 먼저 적어 두면 판별식 > 0인 경우를 대입 없이 즉시 버릴 수 있습니다. 세 경우를 모두 계산하는 학생과 여기서 한 경우를 지우고 시작하는 학생의 시간 차이가 3분 이상 벌어집니다.
분모의 근에는 t가 들어 있고 분자의 근에는 t가 없습니다. 이 한 줄을 먼저 적어 두면 판별식 > 0인 경우를 대입 없이 즉시 버릴 수 있습니다. 세 경우를 모두 계산하는 학생과 여기서 한 경우를 지우고 시작하는 학생의 시간 차이가 3분 이상 벌어집니다.
실수를 줄이는 노하우
- 분자에 근이 있기만 하면 된다고 생각하는 실수 — 분모가 중근이면 분모에 (x − x₀)²이 들어 있으므로, 분자에 (x − x₀)가 한 번만 있으면 극한은 여전히 발산합니다. 분자도 중근이어야 한다는 조건을 놓치면 마지막 연립식 한 줄이 통째로 빠집니다.
- 중근을 f만으로 만들려는 실수 — 경계 조건에서 p² − 4q = 9/4 > 0이 이미 확정되므로 f(x) = 0은 중근을 가질 수 없습니다. 이 부등식을 확인하지 않고 f의 판별식을 0으로 놓으면 p² = 4q에서 엉뚱한 p가 나오고, f(2)가 25/2로 흘러가 ⑤를 고르게 됩니다.
- 부등호 방향을 반대로 잡는 실수 — 판별식이 p² − 4q − t²이므로 t가 커질수록 작아집니다. 부호를 반대로 잡으면 조건을 만족하는 집합이 t ≤ (어떤 값) 꼴로 나오는데, 문제에서 준 집합의 모양과 맞지 않습니다. 집합의 방향이 답과 맞는지 한 번 확인하는 습관이 이 문항의 안전장치입니다.
- 마지막 대입에서 무너지는 실수 — f(x) = x² + 5/2x + 1에 x = 2를 넣을 때 5/2 × 2 = 5입니다. 여기서 2를 곱하지 않고 5/2를 그대로 더하면 15/2가 되어 답이 ③으로 흘러갑니다. 구한 p 값 5/2 자체를 답으로 고르면 ①입니다. 8분을 써서 f를 복원해 놓고 마지막 10초에 잃는 자리이니, 대입은 반드시 한 번 더 확인하세요.
풀이 영상
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