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1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
- 미적분 · 여러 가지 미분법
- 음함수의 미분법
- 삼각함수의 덧셈정리
- 사인법칙
- 각 θ 하나로 매개화
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 넓이 t와 각 f(t)를 직접 잇지 않고, 중간에 각 θ를 하나 세워 두 번에 나눠 잇는 문제입니다. ∠AOP를 θ라 두면 t도 θ의 식이 되고, f(t)도 θ의 식이 됩니다. 이렇게 만든 두 관계식을 각각 t로 미분하면 dθ/dt가 두 식을 이어 주는 다리가 됩니다.
28번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 연결의 이중성입니다. 넓이식만 세운 학생은 각이 나오지 않고, 사인법칙만 세운 학생은 t가 나오지 않습니다. 두 식을 모두 세우고, 미분할 때 θ가 t의 함수라는 사실까지 살려야 f′(k)가 나오는 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 넓이 t는 삼각형에서 부채꼴을 뺀 것
t = ½·2·5·sinθ − ½·2²·θ = 5sinθ − 2θ
호 BP와 선분 AB, AP로 둘러싸인 도형은 삼각형 OAP에서 부채꼴 OBP를 덜어낸 모양입니다. ∠AOP = θ로 두는 순간 t가 θ만의 식이 됩니다.
t = ½·2·5·sinθ − ½·2²·θ = 5sinθ − 2θ
호 BP와 선분 AB, AP로 둘러싸인 도형은 삼각형 OAP에서 부채꼴 OBP를 덜어낸 모양입니다. ∠AOP = θ로 두는 순간 t가 θ만의 식이 됩니다.
② f(t)는 삼각형 OAP의 외각
∠OAP + ∠AOP = ∠OPQ → ∠OAP = f(t) − θ
P, Q, A가 한 직선 위에 있으므로 ∠OPA = π − f(t)이고, 삼각형 OAP의 세 각이 모두 f와 θ로 적힙니다.
∠OAP + ∠AOP = ∠OPQ → ∠OAP = f(t) − θ
P, Q, A가 한 직선 위에 있으므로 ∠OPA = π − f(t)이고, 삼각형 OAP의 세 각이 모두 f와 θ로 적힙니다.
③ 사인법칙으로 f와 θ를 묶기
5 / sin(π − f) = 2 / sin(f − θ)
OA = 5의 대각이 ∠OPA, OP = 2의 대각이 ∠OAP입니다. 정리하면 sin(f(t) − θ) = (2/5)·sin f(t)를 얻습니다.
5 / sin(π − f) = 2 / sin(f − θ)
OA = 5의 대각이 ∠OPA, OP = 2의 대각이 ∠OAP입니다. 정리하면 sin(f(t) − θ) = (2/5)·sin f(t)를 얻습니다.
④ 두 관계식을 t로 미분
1 = (5cosθ − 2)·dθ/dt
θ가 t의 함수이므로 ②의 식을 미분하면 cos(f − θ)·(f′ − dθ/dt) = (2/5)·cos f·f′가 됩니다. 괄호 안의 dθ/dt가 이 문항의 급소입니다.
1 = (5cosθ − 2)·dθ/dt
θ가 t의 함수이므로 ②의 식을 미분하면 cos(f − θ)·(f′ − dθ/dt) = (2/5)·cos f·f′가 됩니다. 괄호 안의 dθ/dt가 이 문항의 급소입니다.
⑤ tan f(k) = 3/2에서 값 복원
cos f = 2/√13, sin f = 3/√13
sin(f − θ)와 cos(f − θ)를 구한 뒤, 덧셈정리 sinθ = sin f·cos(f − θ) − cos f·sin(f − θ)로 θ를 되찾으세요. dθ/dt를 계산하려면 cosθ가 필요합니다.
cos f = 2/√13, sin f = 3/√13
sin(f − θ)와 cos(f − θ)를 구한 뒤, 덧셈정리 sinθ = sin f·cos(f − θ) − cos f·sin(f − θ)로 θ를 되찾으세요. dθ/dt를 계산하려면 cosθ가 필요합니다.
정답 확인
정답 ④ f′(k) = 17/26
상세 해설
더 빠른 풀이 · tan f를 θ의 식으로 확정하고 연쇄법칙
두 관계식을 각각 미분해 연립하는 대신, f를 θ만의 식으로 한 번에 정리해 두면 마지막이 연쇄법칙 한 줄로 끝납니다.
1단계 sin(f − θ) = (2/5)sin f를 덧셈정리로 펼치면 sin f·cosθ − cos f·sinθ = (2/5)sin f입니다. 양변을 cos f로 나눠 tan f로 묶으세요. tan f = 5sinθ / (5cosθ − 2)가 되어 각 f가 θ만의 식으로 확정됩니다.
2단계 tan f(k) = 3/2를 넣으면 10sinθ = 15cosθ − 6입니다. sin²θ + cos²θ = 1을 써서 정리하면 325cos²θ − 180cosθ − 64 = 0이고, 근은 4/5와 −16/65입니다. −16/65는 sinθ가 음수가 되어 버리므로 cosθ = 4/5, sinθ = 3/5입니다.
3단계 tan f = 5sinθ/(5cosθ − 2)의 양변을 θ로 미분하면 sec²f·(df/dθ) = 5(5 − 2cosθ) / (5cosθ − 2)²입니다. cosθ = 4/5를 넣으면 우변은 17/4, sec²f = 1 + (3/2)² = 13/4이므로 df/dθ = 17/13입니다. 여기에 dt/dθ = 5cosθ − 2 = 2를 나누면 f′(k) = 17/26으로 끝납니다.
이 방법은 t와 f가 같은 변수 θ 하나로 표현되고 dt/dθ ≠ 0일 때만 통합니다. 5cosθ − 2 = 0이 되는 자리에서는 나눌 수 없으므로 그때는 원래대로 두 식을 각각 미분해야 합니다.
실수를 줄이는 노하우
- t는 부채꼴이 아니라 삼각형 OAP − 부채꼴 OBP입니다. 부채꼴을 빼지 않으면 dt/dθ가 5cosθ − 2가 아니라 5cosθ = 4가 되어 f′(k)가 17/52로 나옵니다. 선지에 없는 값이 나왔다면 이 단계부터 다시 보세요.
- ∠OPQ와 ∠OPA를 섞어 쓰면 사인법칙 단계에서는 sin(π − f) = sin f라 티가 나지 않습니다. 그 실수는 cos(f − θ)의 부호로 되돌아옵니다. 부호를 −17/(5√13)로 잡으면 f′(k) = 17/42가 되어 역시 선지에 없습니다.
- 사인법칙은 대변과 대각이 짝입니다. 5의 짝은 ∠OPA, 2의 짝은 ∠OAP입니다. 뒤집어 쓰면 sin(f − θ) = (5/2)sin f가 되어 값이 1을 넘으므로, 이 신호가 뜨면 짝부터 다시 맞추세요.
- 양변을 t로 미분할 때 θ도 t의 함수입니다. (f′ − dθ/dt)에서 dθ/dt를 빠뜨리면 양변에서 f′가 통째로 약분되어 17 = 4라는 모순이 남습니다.
- sinθ = 3/5에서 cosθ를 −4/5로 잡으면 dθ/dt가 −1/6이 되어 f′(k)가 음수로 나옵니다. AP < AQ는 P가 A에 가까운 교점이라는 뜻이고, 이때 θ는 예각이므로 cosθ = 4/5입니다.
- 선지 다섯 개는 분모를 26으로 맞추면 14/26, 15/26, 16/26, 17/26, 18/26으로 촘촘히 붙어 있습니다. 즉 한 단계라도 틀리면 선지에 없는 값이 나오도록 설계되어 있으니, 값이 선지에 걸리지 않는 순간이 곧 되돌아가라는 신호입니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 이번 시험 전 범위 손풀이 영상이므로 미적분 구간으로 이동해 보시면 됩니다.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 미적분 28번 해설 – 음함수 미분과 덧셈정리”에 대한 1개의 생각