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기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통
기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통
수열귀납적 정의점화식홀짝 분기항 나열
배점3점
권장 풀이 시간1분 30초
이 문제의 등급 의미여기서 2분을 넘기면 뒤쪽 4점을 못 봅니다. 계산 속도로 시간을 벌어 두는 자리입니다.
출제의도
이 문항은 귀납적으로 정의된 수열에서 조건이 두 갈래로 나뉠 때, 항을 순서대로 정확히 굴려 갈 수 있는지를 묻습니다. 주어진 것은 첫째항 하나와 “다음 항을 만드는 규칙” 하나뿐이고, 규칙의 선택은 지금 항이 짝수인지 홀수인지로 결정됩니다. 즉 계산 능력이 아니라 매 단계마다 판정을 다시 하는 습관을 확인하는 문제입니다.
18번이라는 자리에 3점 단답으로 배치된 이유는 분명합니다. 일반항을 찾을 필요도, 규칙성을 발견할 필요도 없이 다섯 번만 굴리면 끝나기 때문입니다. 난이도의 정체는 속도와 무실수입니다. 어렵게 만들 여지가 없는 대신, 항 번호를 한 칸 밀거나 홀짝 판정을 한 번 놓치면 그대로 0점이 되는 구조로 설계되어 있습니다.
문제
풀이에 필요한 핵심 내용
- 귀납적 정의 — 첫째항과 “aₙ에서 aₙ₊₁을 만드는 규칙”이 함께 주어진 수열입니다. 일반항 공식이 없어도 첫째항부터 차례로 굴리면 모든 항을 구할 수 있습니다.
- 판정 대상은 항상 aₙ — 조건문의 괄호 안이 “aₙ이 짝수인 경우”이므로, 판정하는 값은 방금 구한 현재 항입니다. 다음 항을 미리 보고 규칙을 고르는 것이 아닙니다.
- 구조 파악 — 짝수 규칙 12aₙ은 값을 줄이고, 홀수 규칙 2aₙ+12는 값을 키웁니다. 따라서 수열은 단조롭게 움직이지 않고 오르내립니다. 감소만 예상하면 계산 결과를 의심하게 됩니다.
- 검산에 쓰는 성질 — 2aₙ+12는 언제나 짝수입니다. 그러므로 홀수 항 바로 다음은 반드시 짝수 항입니다. 홀수가 연속으로 두 번 나왔다면 그 자리에서 계산이 틀린 것입니다.
- 항 번호 세기 — a₁에서 a₆까지는 규칙을 5번 적용합니다. 6번이 아닙니다.
정답 확인
정답 38
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A첫째항의 홀짝을 판정하고 두 번 줄입니다
a₁ = 28은 짝수이므로 절반 규칙을 적용해 a₂ = 14가 됩니다. a₂ = 14도 짝수이므로 다시 절반을 취해 a₃ = 7이 됩니다. 여기까지는 나누기만 반복되므로 손이 빠르게 나갑니다.
a₁ = 28은 짝수이므로 절반 규칙을 적용해 a₂ = 14가 됩니다. a₂ = 14도 짝수이므로 다시 절반을 취해 a₃ = 7이 됩니다. 여기까지는 나누기만 반복되므로 손이 빠르게 나갑니다.
STEP B홀수가 나오는 순간 규칙이 바뀝니다
a₃ = 7은 홀수이므로 이번에는 2aₙ + 12를 씁니다. a₄ = 2×7 + 12 = 26이 되어 값이 다시 커집니다. 이 지점이 이 문제의 유일한 전환점이므로, 규칙을 바꿔 적용했는지 한 번 눈으로 확인하세요.
a₃ = 7은 홀수이므로 이번에는 2aₙ + 12를 씁니다. a₄ = 2×7 + 12 = 26이 되어 값이 다시 커집니다. 이 지점이 이 문제의 유일한 전환점이므로, 규칙을 바꿔 적용했는지 한 번 눈으로 확인하세요.
STEP C같은 판정을 두 번 더 반복합니다
a₄ = 26은 짝수이므로 a₅ = 13, a₅ = 13은 홀수이므로 a₆ = 2×13 + 12 = 38입니다. 따라서 구하는 값은 38이 됩니다.
a₄ = 26은 짝수이므로 a₅ = 13, a₅ = 13은 홀수이므로 a₆ = 2×13 + 12 = 38입니다. 따라서 구하는 값은 38이 됩니다.
28 (짝) → 14 (짝) → 7 (홀) → 26 (짝) → 13 (홀) → 38
화살표 5개 = a₁에서 a₆까지 다섯 번 적용
화살표 5개 = a₁에서 a₆까지 다섯 번 적용
효율적인 풀이 스킬
- 화살표를 먼저 다섯 개 그려 둔다. 계산을 시작하기 전에 답안지 여백에 □→□→□→□→□→□ 형태로 칸을 여섯 개 만들어 두면, 항 번호를 세다가 한 칸 밀리는 실수가 원천적으로 막힙니다. 이 문제에서 가장 흔한 오답 원인이 계산이 아니라 칸 세기입니다.
- 세로로 쓰지 말고 가로 한 줄로 굴린다. a₂ = ⋯, a₃ = ⋯ 처럼 등식을 매번 다시 쓰면 시간이 두 배로 듭니다. 값과 홀짝 표시만 가로로 이어 쓰면 20초 안에 끝납니다.
- 홀짝 표시를 값 옆에 반드시 적는다. 머릿속으로만 판정하면 26을 홀수로 착각하는 사고가 생깁니다. 값 옆에 (짝) 또는 (홀)만 써도 판정 실수가 사라집니다.
- 규칙성 찾기를 시도하지 않는다. 6항까지만 요구하는 문제이므로 주기를 찾으려는 시도는 순수한 시간 낭비입니다. 주기 탐색은 a₃₀, a₁₀₀처럼 항 번호가 클 때만 의미가 있습니다.
- 검산은 홀짝 패턴으로만 한다. 전체를 다시 계산하지 말고, 홀수 다음에 홀수가 나온 자리가 있는지만 훑어보세요. 이 수열에서는 그런 자리가 있을 수 없으므로 5초짜리 검산이 됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- 항 번호 밀림 — 규칙을 네 번만 적용하고 멈추면 a₅ = 13이 답으로 나오고, 여섯 번 적용하면 19가 나옵니다. 두 값 모두 “그럴듯한 자연수”라서 스스로 의심하기 어렵습니다. 마지막에 반드시 아래첨자를 세어 a₆인지 확인하세요.
- 2aₙ + 12를 2(aₙ + 12)로 계산 — 괄호를 잘못 씌우면 a₄ = 38이 되어 버립니다. 공교롭게도 이 값이 진짜 정답과 같은 숫자라서, 뒤에서 이어 계산하면 전혀 다른 결과로 흘러갑니다. 곱하기가 먼저, 더하기가 나중입니다.
- 홀짝 판정을 다음 항 기준으로 함 — a₃ = 7을 구한 뒤 “a₄가 짝수일 테니 절반”처럼 앞서 나가면 규칙이 통째로 어긋납니다. 판정은 언제나 방금 구한 값에 대해 합니다.
- 7을 짝수로 착각하는 순간 실수 — 앞에서 28, 14로 두 번 연속 나누기를 했기 때문에 손이 관성으로 한 번 더 나눕니다. 규칙이 바뀌는 자리는 이 문제에서 a₃ 단 한 곳이므로, 여기서만 손을 멈추면 됩니다.
- 단답형 표기 실수 — 세 자리 이하 자연수를 요구하는 문항입니다. 38을 계산해 놓고 마킹 칸에 038 형식으로 옮길 때 자릿수를 밀지 않았는지 확인하세요.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.