1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 확률과 통계
- 확률과 통계 · 확률
- 조건부확률
- 시행의 반복
- 나열의 상태 추적
- 2번+2번으로 쪼개기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 조건부확률의 껍데기를 쓰고 있지만, 실제로 묻는 것은 카드 나열이 시행마다 어떻게 바뀌는지를 끝까지 관리할 수 있는가입니다. 분모는 네 번의 시행 뒤 다시 처음 나열로 돌아올 확률이고, 분자는 그중 세 번째 눈이 6이었던 경우의 확률입니다. 두 값 모두 나열 하나하나를 상태로 보고 전이를 정리해야만 나옵니다.
28번에 배치된 이유는 정보의 압축에 있습니다. 여섯 자리의 나열은 겉보기에 스무 가지지만, 같은 문자끼리 자리를 바꾸면 보이는 나열은 그대로입니다. 이 성질 덕분에 두 번의 시행으로 도달할 수 있는 나열은 네 가지로 줄어듭니다. 이 압축을 못 하면 경우가 폭발해 시간 안에 끝나지 않고, 압축하면 4점짜리 계산 문제로 내려앉습니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
P(Y | X) = P(X ∩ Y) / P(X)
X는 네 번 뒤 처음 나열로 돌아오는 사건, Y는 세 번째 눈이 6인 사건입니다. 분모와 분자를 각각 구해 나누는 구조를 먼저 종이에 적어 두세요.
A와 A를 바꿔도 보이는 나열은 그대로
처음 나열에서는 A와 B가 맞닿은 한 자리에서만 나열이 바뀌고, 나머지 눈은 모두 제자리입니다. 전이확률이 5대 1로 갈리는 이유가 여기에 있습니다.
P(처음 → 나열 S) = P(나열 S → 처음)
자리 교환은 한 번 더 하면 원상복구되는 조작이고 눈은 모두 확률이 같습니다. 그래서 두 번 만에 S로 갈 확률과 S에서 두 번 만에 되돌아올 확률이 일치합니다.
세 번째가 6 → 두 번째 후 나열 = 세 번째 후 나열
세 번째 시행이 통째로 건너뛰어지므로, 남은 네 번째 시행 한 번만으로 처음 나열이 되어야 합니다. 조건이 문제를 오히려 단순하게 만들어 줍니다.
정답 확인
정답 ⑤ P(Y | X) = 138/742 = 69/371
상세 해설
더 빠른 풀이 · 네 번을 2번 + 2번으로 잘라 제곱합으로 만들기
네 번의 시행을 순서대로 따라가면 경우가 계속 불어납니다. 가운데를 잘라 앞 두 번과 뒤 두 번으로 나누면 계산이 한 줄로 줄어듭니다.
제곱합으로 묶는 이 방법은 시행 규칙이 매번 같고, 임의의 두 나열 사이에서 가는 확률과 오는 확률이 서로 같을 때만 성립합니다. 이 문항처럼 조작이 자리 교환(한 번 더 하면 원래대로)이고 눈의 확률이 모두 같을 때가 그 조건에 해당합니다. 한쪽 방향으로만 이동하는 시행이거나 눈에 따라 규칙이 달라지면 제곱합을 쓸 수 없습니다.
실수를 줄이는 노하우
- 처음 나열에서 자리를 바꿔도 보이는 나열이 그대로인 눈이 몇 개인지부터 세세요. 이것을 놓치면 전이확률이 처음부터 어긋나 뒤 계산이 전부 무의미해집니다.
- 눈이 6인 경우를 “아무 일도 없었으니 제외”로 처리하면 안 됩니다. 6도 확률 1/6로 일어나는 어엿한 시행이며, 이 문항에서는 오히려 조건 사건의 주인공입니다.
- 두 번 시행 후의 네 확률을 구했으면 합이 1인지 반드시 확인하세요. 분자들의 합이 36이 아니면 나열 하나를 빠뜨렸거나 중복해서 센 것입니다.
- 세 번째가 6일 때 “두 번째 후가 이미 처음 나열인 경우”만 세면 분자가 130이 되어 130/742 = 65/371이 나옵니다. 선지에 없는 값이 나왔다면 한 번 만에 처음으로 돌아갈 수 있는 다른 나열을 빠뜨렸다는 신호입니다.
- 두 번 시행 후 처음 나열일 확률을 제자리 두 번(25/36)으로만 두고 다른 나열을 거쳐 되돌아오는 경로를 빠뜨린 뒤 나머지를 11/36으로 뭉치면, 제곱합이 742가 아니라 746이 되어 138/746 = 69/373, 즉 ②로 흘러갑니다. 되돌아오는 경로를 반드시 더하세요.
- 마지막에 구하는 것은 P(X ∩ Y)가 아니라 P(Y | X)입니다. 분모와 분자의 6⁴이 약분되므로 138과 742만 남기고 2로 약분해 마무리하세요.
풀이 영상
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