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1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 삼각함수의 그래프
- 그래프의 대칭성
- 두 곡선의 교점
- 넓이의 비로 미지수 찾기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 네 점의 위치를 좌표 하나로 통일하는 문제입니다. 평가원이 밝힌 출제의도도 삼각함수 그래프의 대칭성으로 미지수를 구할 수 있는가입니다. 주어진 것은 넓이의 비 하나뿐이므로, 점 B와 점 D의 x좌표를 점 A의 x좌표 a로 바꿔 쓰지 못하면 식을 세울 자리가 없습니다. 좌표를 구하는 도구는 계산이 아니라 y = −k cos x가 가진 두 가지 대칭입니다.
20번 자리에 배치된 이유는 계산량이 아니라 대칭축의 선택에 있습니다. 이 곡선은 점 (π/2, 0)에 대한 점대칭과 직선 x = π에 대한 선대칭을 동시에 갖고 있고, D는 앞의 것으로, B는 뒤의 것으로 잡아야 합니다. 둘을 바꿔 쓰면 (가)와 (나)가 통째로 뒤집혀 마지막 값만 달라집니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 교점 조건은 곧 tan의 값
sin x = −k cos x ⟺ tan x = −k
두 곡선의 교점은 두 식을 같다고 놓아 얻습니다. cos x로 나누면 tan의 값이 바로 나오고, 이것이 마지막 줄 k = −tan a의 정체입니다. k > 1이므로 tan a < −1, 즉 a는 π/2와 3π/4 사이에 있습니다.
sin x = −k cos x ⟺ tan x = −k
두 곡선의 교점은 두 식을 같다고 놓아 얻습니다. cos x로 나누면 tan의 값이 바로 나오고, 이것이 마지막 줄 k = −tan a의 정체입니다. k > 1이므로 tan a < −1, 즉 a는 π/2와 3π/4 사이에 있습니다.
② y = −k cos x의 점대칭
g(π − x) = −g(x)
이 곡선은 x축과 만나는 점 (π/2, 0)에 대하여 점대칭입니다. A의 y좌표가 sin a이면 짝이 되는 점의 y좌표는 −sin a이고, x좌표는 π − a입니다. D가 이 대칭으로 나오는 점입니다.
g(π − x) = −g(x)
이 곡선은 x축과 만나는 점 (π/2, 0)에 대하여 점대칭입니다. A의 y좌표가 sin a이면 짝이 되는 점의 y좌표는 −sin a이고, x좌표는 π − a입니다. D가 이 대칭으로 나오는 점입니다.
③ y = −k cos x의 선대칭
g(π + t) = g(π − t)
같은 곡선이 직선 x = π에 대해서는 좌우 대칭입니다. y좌표가 같은 두 점 D와 B는 이 대칭으로 짝을 이루므로, D가 π − a이면 B는 π + a입니다. 대칭 두 개를 각각 한 번씩 쓰는 것이 이 문항의 전부입니다.
g(π + t) = g(π − t)
같은 곡선이 직선 x = π에 대해서는 좌우 대칭입니다. y좌표가 같은 두 점 D와 B는 이 대칭으로 짝을 이루므로, D가 π − a이면 B는 π + a입니다. 대칭 두 개를 각각 한 번씩 쓰는 것이 이 문항의 전부입니다.
④ 삼각형 넓이는 x축에 평행한 변으로 잡는다
(넓이) = ½ × (밑변) × (높이)
밑변을 가로 선분으로 잡으면 높이는 y좌표의 차가 됩니다. 삼각형 CDB는 밑변 DB가 그대로 보이지만, 삼각형 AOD는 변 AD가 기울어져 있으므로 AD가 x축과 만나는 점에서 두 조각으로 쪼개 밑변을 공유시키세요.
(넓이) = ½ × (밑변) × (높이)
밑변을 가로 선분으로 잡으면 높이는 y좌표의 차가 됩니다. 삼각형 CDB는 밑변 DB가 그대로 보이지만, 삼각형 AOD는 변 AD가 기울어져 있으므로 AD가 x축과 만나는 점에서 두 조각으로 쪼개 밑변을 공유시키세요.
정답 확인
정답 17
(가) π + a · (나) π − a · (다) 7π/10
상세 해설
더 빠른 풀이 · 대칭의 기준점부터 찍고 시작하기
좌표를 하나씩 계산하려 들면 시간이 샙니다. 그래프에 기준선 두 개를 먼저 그려 놓고 시작하세요.
1단계 그림에 점 (π/2, 0)과 세로선 x = π를 연필로 표시하세요. y = −k cos x는 앞의 점에 대해 점대칭, 뒤의 선에 대해 선대칭입니다. 이 두 개가 이 문항의 좌표 생성기입니다.
2단계 A의 x좌표를 a로 두면 나머지는 계산 없이 읽힙니다. D는 π − a, B는 π + a, C는 2π − a입니다. 네 점이 a와 π의 덧셈·뺄셈만으로 정리되는지 확인하고 넘어가세요.
3단계 두 삼각형의 넓이에는 sin a가 공통으로 들어갑니다. 넓이의 비를 쓰는 순간 sin a는 양변에서 약분되므로, sin a나 k의 값을 먼저 구하려 하지 마세요. 남는 것은 a에 대한 일차식 하나뿐입니다.
이 순서로 가면 문제가 요구하는 것이 a 하나라는 사실이 시작부터 보입니다. k = −tan a는 (다)를 확인시켜 주는 문장일 뿐이므로 k의 값을 실제로 계산할 필요는 없습니다.
실수를 줄이는 노하우
- (가)와 (나)의 자리를 바꿔 쓰는 것이 이 문항의 1번 실수입니다. B는 제4사분면의 교점이므로 π보다 오른쪽인 π + a이고, D는 왼쪽인 π − a입니다. 뒤집어 쓰면 p(α)/q(α)가 역수가 되어 답이 17이 아니라 3 × 3/17로 흘러갑니다. 그림에서 어느 점이 오른쪽인지 먼저 보세요.
- D를 2π − a로 잘못 잡는 경우도 많습니다. 2π − a는 A와 y좌표가 같은 점, 즉 C입니다. D는 A와 y좌표의 부호가 반대이므로 점대칭 쪽을 써야 합니다. 두 대칭을 쓰기 전에 y좌표가 같은 짝인지 반대인 짝인지부터 확인하세요.
- 삼각형 AOD의 넓이를 밑변 AD로 잡으면 길이 계산에서 막힙니다. AD는 점 (π/2, 0)을 지나므로 이 점을 기준으로 두 삼각형으로 쪼개면 밑변이 π/2로 같아지고, 높이만 각각 sin a가 됩니다.
- sin a를 약분할 때는 sin a ≠ 0이라는 근거가 필요합니다. A가 제1사분면의 점이라 sin a > 0입니다. 서술형·논술에서는 이 한 줄이 없으면 감점되고, 객관식에서도 이 확인을 건너뛰면 a = 0 같은 헛된 경우를 붙잡게 됩니다.
- 마지막 계산에서 π는 분모·분자에서 약분되고 3을 곱하는 것을 잊지 마세요. 17π/10 ÷ 3π/10 = 17/3이며, 여기에 3을 곱해야 답이 됩니다. 3을 빠뜨리면 17/3에서 멈춥니다.
풀이 영상
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