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킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
- 미적분 · 수열의 극한
- 등비급수
- 급수의 수렴 조건
- 조건에 따라 정의된 수열
- 경계 항 찾고 나머지 배제
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 정체를 모르는 등비수열 {aₙ}의 첫째항 a₁과 공비 r을 조건 두 개로 확정하는 문제입니다. bₙ은 |aₙ|이 10 이상이냐 미만이냐에 따라 aₙ − a₁ 또는 (aₙ)²로 갈라집니다. 그래서 계산에 들어가기 전에 “몇 번째 항까지가 10 이상인가”를 먼저 결정해야 하고, 그 결정이 끝나야 (가)가 r을, (나)가 a₁을 내줍니다.
29번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 후보의 배제입니다. 가능한 경우를 모두 적어 놓고 조건에 어긋나는 것을 하나씩 지워야 하는데, 지우는 근거가 매번 다릅니다. 어떤 후보는 급수가 수렴하지 않아서, 어떤 후보는 b₃의 부호가 맞지 않아서, 어떤 후보는 합이 12를 넘어서 탈락합니다. 배제를 한 번이라도 건너뛰면 식은 세워지는데 답이 안 나옵니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 급수가 수렴하면 일반항은 0으로 간다
Σ bₙ 수렴 → lim bₙ = 0
r ≤ −1이면 |aₙ|이 줄지 않아 bₙ이 0에 접근할 수 없습니다. a₂ < 0에서 r < 0이므로 여기서 −1 < r < 0으로 좁혀집니다.
Σ bₙ 수렴 → lim bₙ = 0
r ≤ −1이면 |aₙ|이 줄지 않아 bₙ이 0에 접근할 수 없습니다. a₂ < 0에서 r < 0이므로 여기서 −1 < r < 0으로 좁혀집니다.
② |r| < 1이면 |aₙ|은 계속 작아진다
|a₁| > |a₂| > |a₃| > ⋯
크기가 단조 감소하므로 10을 넘는 항은 앞쪽에 몰려 있습니다. 즉 갈림은 딱 한 번만 일어나고, 찾을 것은 경계가 되는 항 번호 하나입니다.
|a₁| > |a₂| > |a₃| > ⋯
크기가 단조 감소하므로 10을 넘는 항은 앞쪽에 몰려 있습니다. 즉 갈림은 딱 한 번만 일어나고, 찾을 것은 경계가 되는 항 번호 하나입니다.
③ 제곱은 부호 정보를 준다
(b₂)² = 36b₃ ≥ 0
좌변이 제곱이므로 b₃은 음수가 될 수 없습니다. 만약 |a₃| ≥ 10이면 b₃ = a₁(r² − 1)이 음수가 되므로, |a₃| < 10이 곧바로 확정됩니다.
(b₂)² = 36b₃ ≥ 0
좌변이 제곱이므로 b₃은 음수가 될 수 없습니다. 만약 |a₃| ≥ 10이면 b₃ = a₁(r² − 1)이 음수가 되므로, |a₃| < 10이 곧바로 확정됩니다.
④ 등비급수의 합은 셋째항부터
Σ(n≥3) bₙ = b₃ ÷ (1 − r²)
셋째항부터는 bₙ = (aₙ)²이므로 공비가 r²인 등비수열입니다. 앞의 b₁, b₂는 따로 더해 주세요.
Σ(n≥3) bₙ = b₃ ÷ (1 − r²)
셋째항부터는 bₙ = (aₙ)²이므로 공비가 r²인 등비수열입니다. 앞의 b₁, b₂는 따로 더해 주세요.
정답 확인
정답 81 (a₁ = 24, r = −1/2)
상세 해설
더 빠른 풀이 · 경계 하나 찍고, 마지막은 등비중항으로
후보를 늘어놓고 지우는 대신, 처음부터 찾을 대상을 하나로 줄이면 시간이 절반으로 줄어듭니다.
1단계 |aₙ|이 단조 감소한다는 사실을 먼저 확보하세요. 그러면 후보는 “몇 번째부터 10 미만인가” 하나뿐입니다. ③에서 |a₃| < 10이 나오므로 남은 질문은 |a₂|가 10 이상인지뿐이고, |a₂| < 10을 넣어 보면 a₁ = 6이 되어 모든 항이 10 미만이 되는데 이때 합이 36을 넘어 (나)와 어긋납니다. 경계는 2와 3 사이로 확정됩니다.
2단계 (가)를 정리한 (r − 1)² = 36r⁴에서 양변에 제곱근을 씌울 때는 |r − 1| = 6r²로 쓰세요. r < 0이니 r − 1 < 0이고, 따라서 1 − r = 6r², 즉 6r² + r − 1 = 0입니다. 부호를 미리 정해 두면 허근이 나오는 길로 새지 않습니다.
3단계 마지막 값은 곱을 그대로 계산하지 마세요. 등비수열에서 첨자의 합이 같으면 곱이 같으므로 a₄ × a₆ = (a₅)²입니다. 36 = 6²이니 구하는 값은 (6a₅)²이고, a₅ = 24 × (1/16) = 3/2이므로 9² = 81로 한 줄에 끝납니다.
3단계의 등비중항 변형은 첨자의 합이 같을 때만 성립합니다(4 + 6 = 5 + 5). a₄ × a₇처럼 합이 어긋나면 쓸 수 없으니 첨자부터 더해 보고 적용하세요.
실수를 줄이는 노하우
- |a₁| ≥ 10이 확정되면 b₁ = a₁ − a₁ = 0입니다. 습관적으로 (a₁)²로 두면 급수 합에 576이 들어가 a₁에 대한 방정식이 통째로 깨집니다. 첫째항은 반드시 0인지 먼저 확인하세요.
- (r − 1)² = 36r⁴에서 r − 1 = 6r²로 쓰면 6r² − r + 1 = 0이 되고 판별식이 1 − 24 < 0이라 실근이 사라집니다. “답이 안 나온다”의 대부분은 여기입니다. r의 부호를 먼저 확정하세요.
- |a₂| < 10인 경우를 검토하지 않고 넘어가면 안 됩니다. 이 경우 a₁ = 6이 나오는데, 이때 합이 36보다 커져 (나)의 12와 어긋납니다. 이 배제를 해야 |a₂| ≥ 10, |a₁| ≥ 10이 근거를 갖습니다.
- a₁² − 18a₁ − 144 = 0의 두 근은 −6과 24입니다. 여기서 −6을 고르면 값이 5.0625가 되어 자연수가 아닙니다. 단답형에서 소수가 나오면 |a₁| ≥ 10 조건을 빠뜨린 것이니 근 선택으로 돌아가세요.
- 셋째항부터의 등비급수에서 공비는 r이 아니라 r² = 1/4입니다. 공비를 −1/2로 쓰면 분모가 3/2가 되어 합이 어긋나고, a₁ 방정식의 계수가 달라집니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 9월 모평 수학 전 범위를 손으로 푸는 영상이므로, 미적분 선택 문항 구간까지 이동해서 29번을 찾아보세요.
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