2026년 9월 고3 모의고사 수학 13번 해설 – 절댓값 정적분과 보기 판정

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2026년 09월 고3 모의평가 수학 (공통)

2026년 09월 고3 모의평가 13번 문제

출제의도

이 문항은 정적분 조건을 함수 결정 문제로 바꾼 뒤, 절댓값이 붙은 정적분의 값을 비교하게 만드는 문제입니다. 최고차항의 계수가 6이고 f(0)=0이므로 미지수는 처음부터 하나만 남고, ∫₀²f(x)dx=4가 그 하나를 확정합니다. 여기까지는 계산이고, 진짜 문제는 <보기> 세 개가 서로 다른 도구를 요구한다는 점입니다.

13번 자리에 배치된 이유는 계산량이 아니라 절댓값의 분해입니다. ㄱ은 부호가 바뀌는 지점에서 구간을 쪼개면 끝나지만, ㄷ은 f(x)+h(x)에 붙은 절댓값을 |f(x)|와 |x−1|로 나눌 수 있는지를 묻습니다. 게다가 ㄷ은 모든 h를 검사하라는 것이 아니라 조건을 만족하는 h가 하나라도 있으면 되는 존재 명제이므로, 판단의 방향 자체가 다릅니다.

이 문제를 풀려면 이것만 알면 됩니다

미지수 하나로 줄이기 — 최고차항의 계수가 6이고 f(0)=0이므로 f(x)=6x(x−t)로 놓을 수 있습니다. 남은 조건 ∫₀²f(x)dx=4가 t를 결정합니다.
구간의 중점과 일차함수 — 일차함수의 [0, 2] 위 정적분은 중점 x=1에서의 값에 구간의 길이 2를 곱한 값입니다. 따라서 g(1)=0이면 ∫₀²g(x)dx=0입니다.
절댓값 정적분은 부호가 바뀌는 점에서 쪼갠다 — 이차함수가 [0, 2] 안에서 부호를 바꾸면 그 지점을 경계로 두 구간으로 나눠 계산합니다.
양수는 절댓값 밖으로 — 0≤x≤2이고 a>0이면 6x+a는 항상 양수이므로 |(6x+a)(x−1)|=(6x+a)|x−1|입니다. 이 변형이 ㄷ의 전부입니다.
존재 명제 — “~인 h(x)가 존재한다”는 조건을 만족하는 예를 하나만 만들어 보이면 참입니다.

정답 확인

정답 ⑤

상세 해설

2026년 09월 고3 모의평가 13번 해설 1
2026년 09월 고3 모의평가 13번 해설 2

풀이 흐름 한눈에 정리

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A
f(x)를 먼저 확정합니다
f(x)=6x(x−t)로 놓고 [0, 2]에서 적분하면 t에 대한 일차식이 나오고, 그 값이 4라는 조건에서 t=1이 나옵니다. 즉 f(x)=6x(x−1)입니다. 이후 세 보기의 판단은 모두 이 식 위에서 이뤄지므로, 여기서 틀리면 전부 틀립니다.

STEP B
ㄱ — x=1에서 쪼갭니다
f(x)=6x(x−1)은 0<x<1에서 음수, 1<x<2에서 양수입니다. 그래서 |f(x)|의 적분은 [0, 1]에서는 부호를 뒤집어 더하고 [1, 2]에서는 그대로 더해야 합니다. 두 값을 합하면 6이 되어 ㄱ은 참입니다.

STEP C
ㄴ — 일차함수의 적분이 0임을 씁니다
g(1)=0인 일차함수는 g(x)=m(x−1) 꼴입니다. 이 함수는 x=1에 대해 대칭이고 [0, 2]는 x=1을 중점으로 하는 구간이므로 ∫₀²g(x)dx=0입니다. 따라서 f와 g의 합의 적분은 4 그대로여서 ㄴ도 참입니다.

STEP D
ㄷ — h를 직접 만들어 보입니다

먼저 ∫₀²(f(x)+h(x))dx=4와 ∫₀²f(x)dx=4에서 ∫₀²h(x)dx=0을 얻습니다. h가 일차함수이면서 이 조건을 만족하려면 ㄴ에서 본 대로 h(1)=0이어야 하므로 h(x)=a(x−1)(a≠0)입니다. (미지수 1개)

a>0으로 잡으면 f(x)+h(x)=(6x+a)(x−1)이고 6x+a는 양수이므로 |f(x)+h(x)|=|f(x)|+a|x−1|입니다. ∫₀²|x−1|dx=1이므로 이 적분값은 6+a가 됩니다. (a에 대한 일차식)

따라서 k>6인 어떤 k가 주어져도 a=k−6으로 두면 조건을 만족하는 h가 만들어지므로 ㄷ도 참입니다. 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두이므로 정답은 ⑤가 됩니다.

더 빨리 푸는 법

ㄴ은 적분하지 말고 중점으로 — 일차함수의 [0, 2] 적분은 (구간의 길이)×(중점에서의 함숫값)=2×g(1)입니다. g(1)=0이 조건에 이미 있으므로 계산 없이 0이 나옵니다. m을 도입해 적분식을 세울 필요조차 없습니다.
ㄱ은 이미 아는 값에서 빼세요 — 두 구간을 다 계산할 이유가 없습니다. ∫₁²f(x)dx=5 하나만 구하면, ∫₀²f(x)dx=4라는 조건에서 ∫₀¹f(x)dx=4−5=−1이 바로 나옵니다. 절댓값 적분은 5+1=6이므로 계산량이 절반으로 줄어듭니다.
∫₀²|x−1|dx는 그림으로 — 이 적분은 밑변 1, 높이 1인 직각삼각형 두 개의 넓이이므로 1/2+1/2=1입니다. ㄷ에서 이걸 적분으로 처리하면 30초가 그냥 날아갑니다.
존재 명제는 만들고 끝냅니다 — ㄷ은 가능한 모든 a를 분류하라는 문제가 아닙니다. a>0 하나만 다뤄 6+a라는 식을 얻고 a=k−6을 제시하면 증명이 완결됩니다. a<0인 경우를 따지느라 시간을 쓰지 마세요.

실수를 줄이는 노하우

ㄱ에서 절댓값을 무시하고 ∫₀²f(x)dx=4를 그대로 답으로 써서 6이 아니라고 판단하는 경우입니다. 그러면 ㄱ이 거짓이 되어 남는 선지가 ④ ㄴ, ㄷ뿐이라 그대로 ④로 흘러갑니다. 절댓값은 부호가 바뀌는 x=1에서 반드시 쪼개세요.
ㄷ에서 h(x)=ax+b로 놓고 미지수 두 개로 헤매는 경우입니다. ∫₀²h(x)dx=0이 먼저 나오고, 일차함수가 이 조건을 만족하려면 h(1)=0이어야 하므로 미지수는 애초에 하나입니다. ㄴ에서 쓴 결론을 ㄷ에서 그대로 재사용하세요.
|(6x+a)(x−1)|에서 6x+a까지 절댓값 안에 남겨 두는 경우입니다. 주어진 범위가 0≤x≤2이고 a>0이면 6x+a는 항상 양수이므로 밖으로 뺄 수 있고, 그래야 |f(x)|+a|x−1| 꼴이 만들어집니다. 절댓값을 벗기기 전에 범위와 부호를 먼저 확인하세요.
ㄷ의 조건이 k>6이라 등호가 없다는 점을 놓치는 경우입니다. k=6까지 허용하면 a=0이 되어 h가 일차함수가 아니게 됩니다. 마지막에 a≠0이 유지되는지 확인하세요.

풀이 영상

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