기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학(미적분)
로그함수의 미분
식이 주어지지 않은 함수
미분계수 저격
정의역 조건 해석
문제
f(x) = (ln x)³ − 3 ln x 입니다. x ≥ −2에서 정의된 함수 g(x)는 x > −2에서 미분가능하고, t ≥ e인 모든 실수 t에 대하여 g(f(t)) = t²를 만족시킵니다. x > 1e에서 정의된 h(x) = g(f(x))에 대하여 h′(1)의 값을 묻는 문제입니다. 선지는 ① −e2√33 ② −2e2√35 ③ −e2√32 ④ −2e2√33 ⑤ −e2√3.
출제의도
이 문항의 g는 식이 하나도 주어지지 않은 함수입니다. 알고 있는 것은 g(f(t)) = t²라는 관계식 한 줄뿐이고, g(x)가 무엇인지는 끝까지 나오지 않습니다. 그래서 g를 찾아내려고 달려들면 시간이 무너집니다. 이 문제가 요구하는 태도는 정반대입니다. h′(1)을 합성함수의 미분법으로 쪼개어 필요한 미분계수 딱 하나만 저격하는 것입니다.
h′(1) = g′(f(1))·f′(1)에서 f(1) = 0이므로 필요한 건 g′(0) 하나입니다. 그리고 g′(0)을 얻는 통로도 하나뿐입니다. 주어진 등식의 양변을 t로 미분한 뒤, f(t) = 0이 되는 t를 대입하는 것입니다. 27번 자리에 놓인 이유는 이 마지막 대목에 있습니다. f(t) = 0의 해는 세 개인데 등식이 보장되는 범위는 t ≥ e뿐이라, 세 해 중 무엇을 쓸 수 있는지를 판단해야 합니다. 조건 “t ≥ e”를 장식으로 읽은 학생과 정의역을 확보해 주는 필수 조건으로 읽은 학생이 여기서 갈립니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 h′(1)을 합성함수의 미분법으로 풀어 쓰세요. h′(x) = g′(f(x))·f′(x)이므로 x = 1을 넣으면 g′(f(1))·f′(1)이 됩니다. f(1)은 ln 1 = 0이라 바로 계산되니, 모르는 값은 g′(0) 하나로 좁혀집니다.
이제 g에 대해 우리가 가진 정보는 g(f(t)) = t² 하나뿐입니다. 여기서 g′이 등장하게 만들려면 어떤 조작을 해야 할까요? 그리고 그렇게 얻은 식에서 g′(0)을 꺼내려면 t를 어떤 값으로 잡아야 할까요? 이 두 질문이 이 문제의 전부입니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
양변을 t에 대하여 미분하면 좌변은 합성함수의 미분법으로 g′(f(t))·f′(t), 우변은 2t가 됩니다. 이 식에서 g′(0)이 나오게 하려면 f(t) = 0이 되는 t를 넣어야 합니다.
여기가 이 문제의 갈림길입니다. f(t) = 0을 풀면 ln t{(ln t)² − 3} = 0에서 t의 값이 세 개 나옵니다. 그런데 주어진 등식은 아무 t에서나 성립하는 게 아니라 t ≥ e에서만 성립합니다. 세 개 중 이 범위에 들어가는 것은 하나뿐이니, 그것만 대입해야 합니다. 그 값을 넣어 g′(0)을 구하고, 마지막에 f′(1)을 곱하는 것을 잊지 마세요.
정답 확인
정답 ⑤ −e2√3
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP Ah′(1)을 쪼개어 모르는 값을 하나로 줄인다
h(x) = g(f(x))이므로 h′(x) = g′(f(x))·f′(x)이고, x = 1을 넣으면 h′(1) = g′(f(1))·f′(1)입니다. f(1) = (ln 1)³ − 3 ln 1 = 0이므로 h′(1) = g′(0)·f′(1)이 됩니다. 한편 f′(x) = 3(ln x)²·1x − 3x = 3x{(ln x)² − 1}이므로 f′(1) = 3(0 − 1) = −3입니다. 이제 남은 미지수는 g′(0) 하나입니다.
STEP B등식을 미분해 g′이 등장하는 식을 만든다
t ≥ e일 때 f(t) ≥ −2이므로 g(f(t))가 정의되고, 주어진 대로 g(f(t)) = t²입니다. t > e에서 양변을 t에 대하여 미분하면 좌변은 합성함수의 미분법으로 g′(f(t))·f′(t), 우변은 2t가 되어 g′(f(t))·f′(t) = 2t …… ㉠ 를 얻습니다.
왜 t ≥ e라는 조건이 붙었나 — g의 정의역이 x ≥ −2이므로 f(t)가 −2 이상이어야 g(f(t))를 쓸 수 있습니다. f는 x = e에서 최솟값 f(e) = 1 − 3 = −2를 가지므로, x ≥ e에서 f(x) ≥ −2가 보장됩니다. 이 조건은 장식이 아니라 등식이 성립하는 구간을 확정해 주는 조건입니다.
STEP Cf(t) = 0인 t를 범위 안에서 골라 대입한다
㉠에서 g′(0)을 꺼내려면 f(t) = 0이어야 합니다. f(t) = ln t{(ln t)² − 3} = 0에서 ln t = 0, √3, −√3, 즉 t = 1, e√3, e−√3입니다. 이 중 t > e를 만족하는 것은 t = e√3 하나뿐입니다(√3 > 1이므로). 나머지 두 값에서는 애초에 등식이 보장되지 않으므로 쓸 수 없습니다.
f′(e√3) = 3e√3{(√3)² − 1} = 6e√3이므로 ㉠에 t = e√3을 대입하면 g′(0) × 6e√3 = 2e√3이고, 따라서 g′(0) = 13e2√3입니다. e√3 × e√3 = e2√3임에 주의하세요.
STEP D두 조각을 곱해 마무리한다
STEP A의 h′(1) = g′(0)·f′(1)에 두 값을 넣으면 h′(1) = 13e2√3 × (−3) = −e2√3, 정답은 ⑤입니다. 3이 그대로 약분되며 계수가 사라지는 것이 이 문제의 마무리 감각입니다.
1등급 다른 풀이 · g의 정체를 밝히고 역함수로 처리하기
g는 식이 없는 함수처럼 보이지만, 사실 조건만으로 완전히 결정됩니다. f′(x) = 3x{(ln x)² − 1}에서 x > e일 때 f′(x) > 0이므로 f는 구간 [e, ∞)에서 증가하고, f(e) = −2에서 시작해 무한히 커집니다. 즉 f는 [e, ∞)에서 [−2, ∞)로의 일대일 대응이라 역함수 f−1이 존재합니다.
g(f(t)) = t²에서 x = f(t)로 두면 t = f−1(x)이므로, x ≥ −2에서 g(x) = {f−1(x)}²입니다. g가 x > −2에서 미분가능하다는 조건도 이 정체와 정확히 맞아떨어집니다.
이제 역함수의 미분법을 씁니다. f(e√3) = 0이므로 f−1(0) = e√3이고, (f−1)′(0) = 1f′(e√3) = e√36입니다. 따라서 g′(x) = 2f−1(x)·(f−1)′(x)에서 g′(0) = 2e√3 × e√36 = e2√33이 되어 앞의 결과와 같습니다. 여기에 f′(1) = −3을 곱하면 −e2√3입니다.
이 풀이의 값어치는 “왜 하필 t = e√3만 쓸 수 있는가”가 저절로 설명된다는 데 있습니다. f−1은 정의역이 [e, ∞)로 제한된 f의 역함수이므로, f−1(0)의 후보는 애초에 e√3 하나뿐입니다. 조건을 놓쳐 t = 1을 쓰는 실수가 구조적으로 불가능해집니다.
실수를 줄이는 전략
- f(t) = 0의 세 해 중 t = 1을 대입하는 것이 이 문제의 1순위 함정입니다. 그러면 g′(0)·(−3) = 2에서 h′(1) = g′(0)·f′(1) = 2라는 양수가 나오는데, 선지는 전부 음수라 답이 없습니다. 답이 선지에 없으면 대입한 t가 범위 안에 있는지부터 확인하세요.
- e√3 × e√3을 e3으로 계산하는 실수가 잦습니다. 지수법칙은 지수끼리 더하는 것이라 √3 + √3 = 2√3입니다. 선지가 모두 e2√3 꼴이라는 점이 역으로 검산 장치가 됩니다.
- g′(0) = 13e2√3까지 구하고 만족해서 멈추면 부호와 계수가 어긋난 채 ①에 손이 갑니다. 구하는 것은 g′(0)이 아니라 h′(1)이므로 f′(1) = −3을 곱하는 마지막 한 줄이 남아 있습니다.
- (ln x)³을 미분할 때 연쇄법칙을 빠뜨리고 3(ln x)²만 쓰면 1x가 사라져 f′(1)의 값 자체가 틀립니다. 겉 함수를 미분한 뒤 속 함수 ln x의 도함수를 반드시 곱하세요.
- 등식 g(f(t)) = t²를 미분할 때 좌변을 g′(f(t))로만 쓰고 f′(t)를 곱하지 않는 경우가 있습니다. 좌변도 합성함수이므로 바깥 g와 안쪽 f를 각각 미분해 곱해야 합니다.
이 유형이 약하면 여기를 푸세요
유형 이름: 합성함수의 미분법 — 식이 주어지지 않은 함수의 미분계수 구하기 (도함수 단원)
쎈 미적분 · 여러 가지 미분법 — 합성함수의 미분법 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 6~8문제
함수식 없이 관계식만 주고 특정 미분계수 하나를 묻는 문제들만 모아 반복합니다.
마플시너지 미적분2 · 합성함수·역함수의 미분법 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 5~7문제
양변 미분 후 대입할 값을 정의역 조건으로 골라내는 절차가 반복 훈련되는 문항들입니다. (22개정 미적분Ⅱ가 15개정 미적분의 미분법 단원에 대응)
약술형논술·수리논술로 나오면
이 문항은 수능특강 미적분 ‘여러 가지 미분법’ 파트의 전형이며, 약술형논술에서는 정의역을 근거로 값을 선택하는 서술을 요구하는 소재로 자주 변형됩니다. 논술 출제자가 이 문제를 고르는 이유는 −e2√3을 계산시키기 위해서가 아니라, “f(t) = 0의 해가 셋인데 왜 e√3만 쓸 수 있는가”를 문장으로 쓰게 만들 수 있기 때문입니다. 답이 아니라 선택의 근거가 점수입니다.
답안에 반드시 들어가야 할 문장
- h′(x) = g′(f(x))·f′(x)라는 합성함수의 미분법을 명시하고, f(1) = 0이므로 h′(1) = g′(0)·f′(1)임을 보인다.
- f′(x) = 3x{(ln x)² − 1}을 유도하고 f′(1) = −3을 계산한다.
- f의 증감을 조사해 x ≥ e에서 최솟값이 f(e) = −2임을 보이고, 그래서 t ≥ e에서 f(t)가 g의 정의역 x ≥ −2에 들어간다는 점을 밝힌다.
- f(t) = 0의 해 t = 1, e√3, e−√3 중 주어진 등식이 성립하는 범위 t ≥ e에 속하는 것은 e√3뿐이므로 이 값만 대입할 수 있음을 근거로 쓴다.
- g′(f(t))f′(t) = 2t에 t = e√3을 대입해 g′(0) = 13e2√3을 구하고, f′(1)을 곱해 −e2√3으로 마무리한다.
답은 맞았는데 깎이는 지점
- t = e√3을 아무 설명 없이 골라 쓴 경우 — 이 문제에서 배점이 가장 큰 논거가 통째로 빠집니다.
- t ≥ e 조건이 f의 최솟값 −2에서 온다는 연결을 쓰지 않은 경우 — 조건을 옮겨 적기만 하고 해석하지 않았다고 봅니다.
- 양변 미분에서 좌변에 합성함수의 미분법을 적용했다는 언급 없이 결과식만 쓴 경우 — 식은 맞아도 과정 점수를 잃습니다.
수능에서는 범위 조건을 속으로 확인하고 넘어가도 되지만, 논술 답안에서는 위 다른 풀이처럼 g(x) = {f−1(x)}²로 정체를 밝히고 역함수의 미분법으로 서술하면 선택의 근거가 자동으로 드러나 논증이 훨씬 깔끔해집니다.