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1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
1등급 갈림길
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
- 수학Ⅰ · 삼각함수
- 코사인법칙
- 사인법칙과 외접원
- 원주각
- 외접원 공유로 연결하기
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 삼각형 ABC에 있는 정보를 삼각형 DBC로 옮기는 문제입니다. 주어진 세 값은 모두 삼각형 ABC의 것이고, 구하라는 선분 BD는 삼각형 DBC의 변입니다. 두 삼각형 사이에 다리가 하나 필요한데, 그 다리가 바로 공통 외접원입니다. 점 D가 호 BC 위에 있다는 조건이 그 다리를 놓아 주는 유일한 문장입니다.
12번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 연결 통로 찾기에 있습니다. 외접원의 반지름이 두 삼각형에 똑같이 쓰이는 상수라는 것을 보면 세 줄로 끝나지만, 못 보면 선분 CD나 각의 크기를 구하려다 시간을 다 씁니다. 조건을 다 쓰고도 손이 멈추는 자리를 노린 문항입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 코사인법칙 — 두 변과 낀각으로 나머지 변
a² = b² + c² − 2bc·cos A
두 변의 길이와 그 사이 각의 코사인값이 주어졌으므로, 가장 먼저 확보할 수 있는 것은 남은 한 변입니다.
a² = b² + c² − 2bc·cos A
두 변의 길이와 그 사이 각의 코사인값이 주어졌으므로, 가장 먼저 확보할 수 있는 것은 남은 한 변입니다.
② 코사인값에서 사인값으로
sin²A = 1 − cos²A, 내각이므로 sin A > 0
사인법칙을 쓰려면 사인값이 필요합니다. 삼각형의 내각은 0°와 180° 사이라 사인은 항상 양수이므로 부호 고민 없이 양의 근만 취합니다.
sin²A = 1 − cos²A, 내각이므로 sin A > 0
사인법칙을 쓰려면 사인값이 필요합니다. 삼각형의 내각은 0°와 180° 사이라 사인은 항상 양수이므로 부호 고민 없이 양의 근만 취합니다.
③ 사인법칙을 현의 공식으로 바꿔 읽기
현의 길이 = 2R × (그 현을 보는 원주각의 사인)
a / sin A = 2R을 이렇게 뒤집어 두면, 각 하나와 반지름만으로 마주보는 현의 길이가 바로 나옵니다.
현의 길이 = 2R × (그 현을 보는 원주각의 사인)
a / sin A = 2R을 이렇게 뒤집어 두면, 각 하나와 반지름만으로 마주보는 현의 길이가 바로 나옵니다.
④ 각과 마주보는 변 짝짓기
∠BCD의 대변은 BD, ∠BDC의 대변은 BC
네 점이 한 원 위에 있으므로 삼각형 ABC와 삼각형 DBC의 외접원은 같고 R도 같습니다. 남은 일은 어떤 각이 어떤 변을 보는지 정확히 짝짓는 것뿐입니다.
∠BCD의 대변은 BD, ∠BDC의 대변은 BC
네 점이 한 원 위에 있으므로 삼각형 ABC와 삼각형 DBC의 외접원은 같고 R도 같습니다. 남은 일은 어떤 각이 어떤 변을 보는지 정확히 짝짓는 것뿐입니다.
정답 확인
정답 ④ BD = 4√2
상세 해설
더 빠른 풀이 · 반지름을 구하지 않는 길
외접원의 반지름을 실제로 계산하면 분모에 근호가 생겨 유리화 단계를 거쳐야 합니다. 반지름을 아예 구하지 않고 지나갈 수 있습니다.
1단계 BC와 BD는 같은 원 위의 두 현입니다. BC는 ∠BAC가, BD는 ∠BCD가 마주봅니다. 두 현 모두 2R × sin(각) 꼴로 쓸 수 있습니다.
2단계 두 식을 나누면 2R이 통째로 약분됩니다. 남는 것은 BD = BC × sin(∠BCD) ÷ sin(∠BAC)라는 비례식 한 줄입니다.
3단계 코사인법칙으로 BC를, 제곱 관계로 sin(∠BAC)를 구해 그대로 대입하세요. 반지름을 구하는 두 줄과 유리화 한 줄이 사라져 계산이 절반으로 줄어듭니다.
같은 원 위의 두 현을 비교할 때만 통하는 스킬입니다. 두 각이 같은 원의 원주각인지 먼저 확인하고 쓰세요.
실수를 줄이는 노하우
- 코사인법칙의 마지막 항은 2 × 4 × 5에 코사인값까지 곱해야 끝납니다. 40에서 멈추고 그대로 빼면 남은 변이 전혀 다른 값이 됩니다. 곱셈을 끝까지 밀고 나가세요.
- 사인값은 1 − cos²A에서 나옵니다. 제곱을 빠뜨리고 1에서 코사인값을 그냥 빼는 실수가 이 유형에서 가장 많습니다. 제곱부터 하세요.
- 근호 안 숫자는 제곱수로 쪼개서 밖으로 빼내세요. 이 과정을 건너뛰면 마지막에 선지 꼴과 모양이 달라 답을 못 찾습니다.
- ∠BCD가 마주보는 변은 BD입니다. ∠BDC로 착각하면 마주보는 변이 BC가 되어 이미 구한 BC 길이가 그대로 답으로 나오는데, 그 값은 선지에 없습니다. 사인법칙을 세우기 전에 각과 대변을 그림에 표시하세요.
- 선지 다섯 개가 모두 5.2에서 5.7 사이라 어림값으로는 구별되지 않습니다. 사인법칙의 우변이 R이 아니라 2R인지 확인하고, 마지막 근호 정리를 숫자가 아닌 문자로 한 번 더 검산하세요.
풀이 영상
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“2026년 9월 고3 모의고사 수학 12번 해설 – 코사인법칙과 외접원 공유”에 대한 1개의 생각