2026년 9월 고3 모의고사 수학 21번 해설 – 미분가능성과 절댓값 함수

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킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통

수학Ⅱ · 미분
삼차함수의 실근 조건
미분가능성 판정
절댓값 함수의 뾰족점
좌우 미분계수 비교

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 “미분가능하다”는 조건을 “근이 어디에 놓여 있는가”로 옮기는 문제입니다. g와 절댓값 함수는 각자 뾰족하게 꺾이는 점을 가지고 있는데, 둘을 더한 h가 실수 전체에서 미분가능하려면 두 꺾임이 같은 자리에서 서로 크기까지 맞춰 상쇄되어야 합니다. 그래서 실제로 묻는 것은 계산이 아니라 배치입니다. 어디서 꺾이는지, 몇 군데서 꺾이는지, 그 꺾임이 얼마나 큰지를 차례로 확정해야 합니다.

21번 자리에 배치된 이유는 조건의 연쇄에 있습니다. (가)가 f의 꼴을 정하고, 그 꼴이 g가 꺾이는 지점을 하나로 확정하고, 그것이 다시 절댓값 안 삼차식의 근 배치를 강제하고, 마지막에 좌우 미분계수를 맞추는 식이 α를 결정합니다. 고리 하나만 끊겨도 다음 단계로 넘어갈 수 없고, 부분점수가 없는 주관식이라 중간에서 멈추면 그대로 0점이 되는 구조입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

① 실근이 2개인 삼차함수의 꼴
f(x) = (x − α)²(x − β) (α ≠ β)
최고차항의 계수가 1인 삼차함수가 서로 다른 실근을 2개만 가지려면 한 근이 중근이어야 합니다. 중근을 α, 나머지 근을 β라 하면 x < β에서는 f(x) < 0, x ≥ β에서는 f(x) ≥ 0입니다.

② g가 꺾이는 곳은 부호가 바뀌는 한 점뿐
g(x) = 7f(x) (x < β), −f(x) (x ≥ β)
중근 α에서 f는 0이 되지만 부호는 그대로이므로 식이 갈리지 않습니다. 따라서 g는 x = β 한 곳에서만 미분가능하지 않습니다.

③ 꺾임의 크기 = 우미분계수 − 좌미분계수
−(β−α)² − 7(β−α)² = −8(β−α)²
미분계수의 정의로 좌우를 각각 구하면 좌는 7(β−α)², 우는 −(β−α)²입니다. α ≠ β이므로 이 차는 절대 0이 되지 않고, g는 반드시 한 번 꺾입니다.

④ 절댓값 함수는 중복도가 홀수인 근에서 꺾인다
p(x) = (x − 1)(x − a)(x − 4 + a)
세 근 1, a, 4 − a 중 두 개가 겹치면 그 점은 중근이 되어 매끄럽게 지나가고, 남은 한 점에서만 꺾입니다. 세 근이 모두 다르면 꺾이는 점이 3개가 되어 g의 꺾임 하나로는 상쇄할 수 없습니다.

⑤ 합이 미분가능 = 두 꺾임의 합이 0
{g의 꺾임} + {|p|의 꺾임} = 0
꺾이는 자리가 같아야 하고, 그 자리에서 두 함수의 (우미분계수 − 좌미분계수)를 더한 값이 0이어야 합니다. 이 한 줄이 h의 미분가능 조건 전부입니다.

정답 확인

정답 12

상세 해설

더 빠른 풀이 · 극한 대신 꺾임의 크기만 비교하기

해설처럼 좌우 극한을 매번 계산하면 같은 형태의 식을 네 번 반복하게 됩니다. 꺾임의 크기를 공식으로 한 번만 만들어 두면 극한 기호를 한 번도 쓰지 않고 끝납니다.

1단계 확인할 경우를 먼저 줄이세요. 근 1, a, 4 − a 중 둘이 겹치는 a는 1, 2, 3뿐이고, a = 1과 a = 3은 같은 식 (x−1)²(x−3)을 줍니다. 결국 (중근 γ, 단근 β)가 (1, 3)인 경우와 (2, 1)인 경우 두 가지만 남습니다.

2단계 두 꺾임을 공식으로 쓰세요. g는 x = β에서 −8(β−α)², 절댓값 함수는 x = β에서 +2(β−γ)²입니다. 합이 0이므로 2(β−γ)² = 8(β−α)², 즉 |β − α| = |β − γ| ÷ 2입니다. α는 β에서 좌우로 같은 거리만큼 떨어진 두 점입니다.

3단계 f(0) = −α²β에 바로 대입하세요. (γ, β) = (1, 3)이면 |β−γ| = 2이므로 α = 2 또는 4이고 f(0) = −12 또는 −48입니다. (γ, β) = (2, 1)이면 |β−γ| = 1이므로 α = 1/2 또는 3/2이고 f(0) = −1/4 또는 −9/4입니다.

네 값 중 최댓값은 −1/4, 최솟값은 −48이므로 곱은 12입니다. 이 방식은 조각함수의 계수(여기서는 −1과 7)가 바뀌어도 그대로 쓸 수 있어, 같은 유형의 변형 문항에서 시간을 가장 크게 아껴 줍니다.

실수를 줄이는 노하우

중근 α에서도 g가 꺾인다고 보면 안 됩니다. f는 α에서 0이 되지만 부호가 바뀌지 않으므로 g의 식이 갈리지 않습니다. 꺾이는 점을 2개로 잡는 순간 상쇄 조건 자체가 어긋나 답이 나오지 않습니다.
겹치는 짝은 1 = a, a = 4 − a, 4 − a = 1 세 가지이고 각각 a = 1, 2, 3입니다. a = 2를 빠뜨리면 f(0)이 −12와 −48뿐이라 최댓값이 −12가 되고 답이 576으로 흘러갑니다.
(3 − α)² = 1이나 (1 − α)² = 1/4을 풀 때 근을 하나만 취하지 마세요. α = 2와 α = 4가 모두 살아 있고, α = 4를 버리면 최솟값이 −12가 되어 답이 3이 됩니다. 구한 α가 β와 같지 않은지도 함께 확인하세요.
마지막 비교는 음수끼리의 대소입니다. −1/4, −9/4, −12, −48 중 가장 큰 값은 분수인 −1/4입니다. 눈에 덜 들어온다고 −9/4를 최댓값으로 잡으면 −9/4 × (−48) = 108로 흘러갑니다.
f(0) = (0−α)²(0−β) = −α²β입니다. β를 빼먹고 −α²만 쓰면 (γ, β) = (1, 3)인 경우에서 −4와 −16이 나와 전부 틀립니다. 대입 전에 β가 3인지 1인지 다시 확인하세요.

풀이 영상

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