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기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점 · 단답형
기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점 · 단답형
아래 문제를 먼저 직접 풀어본 뒤 해설을 확인하세요.
출제의도
밑이 서로 다른 두 로그가 등식으로 묶여 있는 방정식입니다. 좌변은 밑이 3, 우변은 밑이 9이므로 이대로는 진수끼리 비교할 수 없습니다. 이 문항이 확인하는 것은 밑 통일을 할 수 있는가, 그리고 통일한 뒤 만들어지는 이차방정식의 근을 진수조건으로 걸러낼 수 있는가입니다.
계산량 자체는 이차방정식 하나로 3점 배점에 맞게 가볍습니다. 점수가 갈리는 지점은 마지막입니다. 근이 두 개 나오는데 그중 하나는 로그의 정의를 위반하는 값이므로, 조건을 확인하지 않으면 답을 두 개 얻고 어느 쪽을 써야 할지 알 수 없게 됩니다. 단답형이라는 형식이 이 함정을 더 위험하게 만듭니다.
이 문제를 풀기 위한 핵심 정리
밑이 거듭제곱 관계일 때의 변환
log₍ₐⁿ₎ b = (1/n) · log₍ₐ₎ b
9 = 3² 이므로 우변은 log₉(2x−3) = ½ · log₃(2x−3)이 됩니다. 반대 방향으로 좌변을 올려도 되는데, 그 형태가 이 문제에서는 더 편합니다.
log₍ₐⁿ₎ b = (1/n) · log₍ₐ₎ b
9 = 3² 이므로 우변은 log₉(2x−3) = ½ · log₃(2x−3)이 됩니다. 반대 방향으로 좌변을 올려도 되는데, 그 형태가 이 문제에서는 더 편합니다.
좌변을 밑 9로 올리기
log₃ M = log₉ M²
log₃(x−3) = log₉(x−3)² 이므로 양변의 밑이 9로 같아집니다. 분수 계수 ½을 다룰 필요가 없어집니다.
log₃ M = log₉ M²
log₃(x−3) = log₉(x−3)² 이므로 양변의 밑이 9로 같아집니다. 분수 계수 ½을 다룰 필요가 없어집니다.
밑이 같으면 진수끼리 비교
log₍ₐ₎ M = log₍ₐ₎ N ⇔ M = N (M > 0, N > 0)
(x−3)² = 2x−3 이라는 이차방정식이 여기서 나옵니다.
log₍ₐ₎ M = log₍ₐ₎ N ⇔ M = N (M > 0, N > 0)
(x−3)² = 2x−3 이라는 이차방정식이 여기서 나옵니다.
진수조건 — 식을 세우기 전에 먼저
x − 3 > 0 이고 2x − 3 > 0 ⇒ x > 3
두 조건의 교집합이므로 더 강한 쪽인 x > 3이 남습니다. 이 한 줄을 문제를 읽자마자 여백에 적어 두세요.
x − 3 > 0 이고 2x − 3 > 0 ⇒ x > 3
두 조건의 교집합이므로 더 강한 쪽인 x > 3이 남습니다. 이 한 줄을 문제를 읽자마자 여백에 적어 두세요.
정답 확인
정답 6
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
진수조건을 먼저 확정합니다
로그의 진수는 양수여야 하므로 x − 3 > 0 과 2x − 3 > 0 을 동시에 만족해야 합니다. 두 조건을 합치면 x > 3 입니다. 이 범위를 먼저 확보해 두면 나중에 나오는 근 중 무엇을 버릴지 고민할 필요가 없습니다.
진수조건을 먼저 확정합니다
로그의 진수는 양수여야 하므로 x − 3 > 0 과 2x − 3 > 0 을 동시에 만족해야 합니다. 두 조건을 합치면 x > 3 입니다. 이 범위를 먼저 확보해 두면 나중에 나오는 근 중 무엇을 버릴지 고민할 필요가 없습니다.
STEP B
밑을 9로 통일해 진수를 비교합니다
log₃(x−3) 은 log₉(x−3)² 과 같으므로, 주어진 등식은 log₉(x−3)² = log₉(2x−3) 이 됩니다. 밑이 같아졌으므로 진수끼리 놓으면 (x−3)² = 2x−3 이라는 이차방정식이 만들어집니다.
밑을 9로 통일해 진수를 비교합니다
log₃(x−3) 은 log₉(x−3)² 과 같으므로, 주어진 등식은 log₉(x−3)² = log₉(2x−3) 이 됩니다. 밑이 같아졌으므로 진수끼리 놓으면 (x−3)² = 2x−3 이라는 이차방정식이 만들어집니다.
STEP C
이차방정식을 풀고 범위로 거릅니다
좌변을 전개하면 x² − 6x + 9 = 2x − 3 이고, 정리하면 x² − 8x + 12 = 0 입니다. 인수분해하면 (x−2)(x−6) = 0 이므로 x = 2 또는 x = 6 입니다. STEP A에서 확보한 x > 3 을 적용하면 x = 2 는 버려집니다. 따라서 구하는 값은 6 입니다.
이차방정식을 풀고 범위로 거릅니다
좌변을 전개하면 x² − 6x + 9 = 2x − 3 이고, 정리하면 x² − 8x + 12 = 0 입니다. 인수분해하면 (x−2)(x−6) = 0 이므로 x = 2 또는 x = 6 입니다. STEP A에서 확보한 x > 3 을 적용하면 x = 2 는 버려집니다. 따라서 구하는 값은 6 입니다.
더 빠르게 푸는 방법
밑은 큰 쪽으로 올린다
밑 3과 밑 9가 섞여 있을 때 작은 쪽(3)으로 내리면 ½ 이라는 분수 계수가 생기고, 그 계수를 없애려고 양변에 2를 곱하는 단계가 한 번 더 붙습니다. 큰 쪽(9)으로 올리면 log₃ M = log₉ M² 한 번으로 계수 없이 끝납니다.
밑 3과 밑 9가 섞여 있을 때 작은 쪽(3)으로 내리면 ½ 이라는 분수 계수가 생기고, 그 계수를 없애려고 양변에 2를 곱하는 단계가 한 번 더 붙습니다. 큰 쪽(9)으로 올리면 log₃ M = log₉ M² 한 번으로 계수 없이 끝납니다.
범위를 먼저, 근은 나중에
진수조건 x > 3 을 이차방정식보다 먼저 적어 두면, 근 x = 2 와 x = 6 이 나오는 순간 판단이 즉시 끝납니다. 근을 구한 뒤에 조건을 찾으러 문제로 되돌아가는 왕복이 사라집니다.
진수조건 x > 3 을 이차방정식보다 먼저 적어 두면, 근 x = 2 와 x = 6 이 나오는 순간 판단이 즉시 끝납니다. 근을 구한 뒤에 조건을 찾으러 문제로 되돌아가는 왕복이 사라집니다.
검산은 원식 대입 한 번
x = 6 을 넣으면 좌변은 log₃3 = 1, 우변은 log₉9 = 1 로 양변이 같습니다. 3³ 이나 9² 같은 큰 수가 나오지 않는 깔끔한 대입이므로 10초면 확인됩니다.
x = 6 을 넣으면 좌변은 log₃3 = 1, 우변은 log₉9 = 1 로 양변이 같습니다. 3³ 이나 9² 같은 큰 수가 나오지 않는 깔끔한 대입이므로 10초면 확인됩니다.
이 순서대로 가면 여백에 쓰는 줄은 진수조건 한 줄, 이차방정식 한 줄, 인수분해 한 줄로 끝납니다. 3점 문항 목표 시간 1분 안에 마쳐야 하는 문제입니다.
이 문제에서 실제로 틀리는 지점
- 진수조건 누락 — x = 2 와 x = 6 을 둘 다 답으로 남기게 됩니다. x = 2 를 대입하면 x − 3 = −1 이라 로그 자체가 정의되지 않습니다. 단답형이라 두 값 중 하나를 찍게 되는데, 여기서 2를 쓰면 그대로 0점입니다.
- 두 조건 중 약한 쪽만 사용 — 2x − 3 > 0 만 보고 x > 3/2 로 잡으면 x = 2 가 통과해 버립니다. 진수조건은 등장하는 모든 로그에 대해 세운 뒤 교집합을 취해야 합니다.
- 밑 변환 방향을 반대로 — log₉(2x−3) 을 2·log₃(2x−3) 으로 뒤집는 실수입니다. 밑이 커지면 로그값은 작아진다는 사실로 확인하세요. log₉81 = 2, log₃81 = 4 이므로 밑 9쪽이 절반입니다.
- (x−3)² 전개 실수 — x² − 9 로 전개하면 x² − 2x − 6 = 0 이라는 엉뚱한 식이 나오고 근이 무리수가 됩니다. 답이 정수로 떨어지지 않으면 전개를 의심하세요.
- 묻는 대상 확인 — 이 문제는 x 의 값을 그대로 묻습니다. 근의 합(8)이나 근의 개수를 쓰지 않도록 마지막에 문제의 마지막 문장을 한 번 더 읽으세요.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.