2
기본 점수 확보
2점
2026년 09월 고3 모의평가 수학(공통)
기본 점수 확보
2점
2026년 09월 고3 모의평가 수학(공통)
출제의도
이 문항은 극한식의 모양을 보고 그것이 미분계수의 정의임을 알아본 뒤, 다항함수의 도함수로 값을 옮기는 문제입니다. 겉으로는 극한 계산이지만 실제로 묻는 것은 미분계수를 구하는 능력입니다.
난이도의 정체는 정의 인식입니다. 정의를 알아보면 대입 한 번으로 끝나고, 알아보지 못하면 분자를 인수분해하는 긴 길로 돌아갑니다. 답은 같지만 시간이 세 배로 듭니다.
풀이에 필요한 핵심 개념
- 미분계수의 정의 : f′(a) = limx→a { f(x) − f(a) } / (x − a)
- 같은 정의의 다른 꼴 : f′(a) = limh→0 { f(a+h) − f(a) } / h
- 다항함수의 미분 : (xn)′ = n xn−1, (상수)′ = 0
- 판단 기준 : 분모가 (x − a) 이고 분자가 f(x) − f(a) 이면 그 극한은 계산 대상이 아니라 f′(a) 그 자체입니다.
문제
정답 확인
정답 ③ 23
상세 해설
이렇게 풀면 더 빠릅니다
표준 풀이는 정의 확인 → 도함수 → 대입의 세 단계입니다. 아래 세 가지를 쓰면 종이에 쓰는 줄이 두 줄로 줄어듭니다.
f(2)를 구하지 마세요
가장 큰 시간 낭비가 f(2) = 10 을 먼저 계산하는 것입니다. 정의 꼴을 알아본 순간 f(2)의 값은 풀이에 한 번도 등장하지 않습니다. 극한식을 f′(2) 라고 고쳐 쓰는 것부터 시작하세요.
가장 큰 시간 낭비가 f(2) = 10 을 먼저 계산하는 것입니다. 정의 꼴을 알아본 순간 f(2)의 값은 풀이에 한 번도 등장하지 않습니다. 극한식을 f′(2) 라고 고쳐 쓰는 것부터 시작하세요.
상수항은 처음부터 지우고 미분하세요
−4는 미분하면 사라지므로 f(x) = 2x3 − x 로 보아도 결과가 같습니다. 항이 많은 문제일수록 상수항을 먼저 지워 두면 실수가 줄어듭니다.
−4는 미분하면 사라지므로 f(x) = 2x3 − x 로 보아도 결과가 같습니다. 항이 많은 문제일수록 상수항을 먼저 지워 두면 실수가 줄어듭니다.
f′(x) = 6x2 − 1 → f′(2) = 6 × 4 − 1 = 23
정의를 못 알아봤을 때의 우회로도 알아 두세요
분자를 f(x) − f(2) = 2x3 − x − 10 으로 놓고 (x − 2)로 인수분해하면 2x2 + 4x + 7 이 남고, x = 2 를 넣어도 23이 나옵니다. 다만 이 길은 시간이 세 배 걸리므로 검산용으로만 쓰세요.
분자를 f(x) − f(2) = 2x3 − x − 10 으로 놓고 (x − 2)로 인수분해하면 2x2 + 4x + 7 이 남고, x = 2 를 넣어도 23이 나옵니다. 다만 이 길은 시간이 세 배 걸리므로 검산용으로만 쓰세요.
실수를 줄이는 노하우
- −x 의 미분은 −1 입니다. 부호를 놓쳐 +1 로 두면 24 + 1 = 25 가 되어 답이 ④로 흘러갑니다. 일차항의 부호는 도함수를 쓰는 순간 한 번 더 확인하세요.
- 상수항 −4 를 도함수에 그대로 끌고 가면 24 − 1 + 4 = 27 이 되어 답이 ⑤로 흘러갑니다. 상수의 미분은 0이라는 이유를 소리 내어 확인하고 지우세요.
- 6 × 22 을 (6 × 2)2 으로 계산하지 마세요. 거듭제곱이 곱셈보다 먼저입니다. 이렇게 하면 144 − 1 = 143 처럼 선지에 없는 값이 나옵니다.
- 2x3 의 미분은 3x2 이 아니라 6x2 입니다. 계수 2와 지수 3을 곱해야 하는데, 지수만 내리고 계수를 빠뜨리는 실수가 첫 문항에서 특히 자주 나옵니다.
- 마지막에 x = 2 를 대입했는지 확인하세요. 답이 식(6x2 − 1)으로 남아 있으면 선지와 비교할 수 없습니다.
풀이 영상
위 풀이를 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 2번 해설 – 미분계수의 정의”에 대한 1개의 생각