2026년 9월 고3 모의고사 수학 확률과통계 25번 해설 – 이항정리의 일반항

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• 지수 방정식으로 r 찾기

해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.

출제의도

이 문항은 전개식을 전부 펼치지 않고 원하는 항 하나만 집어내는 문제입니다. 네 제곱을 직접 전개하면 항이 다섯 개 나오지만, 필요한 것은 x²이 붙은 항 딱 하나입니다. 그래서 일반항을 세운 뒤 x의 지수가 2가 되는 r을 방정식으로 찾는 길로 가야 합니다. 계수를 묻는 문제는 언제나 “몇 번째 항인가”를 먼저 정하는 문제입니다.

25번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 지수 관리에 있습니다. 두 항 모두 x를 품고 있고 뒤쪽은 1/x²이라 지수가 음수로 들어옵니다. 지수를 더할 때 부호를 한 번만 놓쳐도 r이 정수로 떨어지지 않아 손이 멈추게 설계된 자리입니다.

풀이에 필요한 핵심 내용

상세 해설

더 빠른 풀이 · 지수가 5씩 줄어드는 것만 보기

실수를 줄이는 노하우

• 괄호 앞의 2가 4−r 제곱된다는 점을 놓치지 마세요. 2를 한 번만 곱해 ₄C₂ × 2 = 12로 계산하면 ②로 흘러갑니다. 계수와 문자는 항상 같이 거듭제곱됩니다.
• 조합의 아래 첨자 r과 지수의 r을 헷갈리지 마세요. r = 2인데 ₄C₁을 쓰면 4 × 4 = 16이 되어 ③으로 흘러갑니다. 일반항을 쓸 때 ₄Cᵣ와 지수의 r에 같은 표시를 해 두세요.
• 1/x²을 그대로 두고 지수를 12 − 3r로만 계산하면 12 − 3r = 2에서 r이 정수로 나오지 않습니다. 답이 안 나오면 계산을 다시 하기 전에 음의 지수를 빠뜨렸는지 먼저 확인하세요.
• 부호를 반대로 써서 x^(12−3r+2r)로 두면 r = 10이 나옵니다. r은 0 이상 4 이하여야 하므로, 범위를 벗어난 r이 나왔다면 그 자체가 부호 실수의 신호입니다.
• 마지막에 r = 2를 일반항에 넣어 x^(12−10) = x²이 맞는지 되짚으세요. 5초면 끝나고 지수 계산 실수를 전부 잡아냅니다.

풀이 영상

풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 확률과 통계 23~30번 손풀이 영상입니다.

공통 문항까지 이어서 보고 싶다면 전 문항 손풀이 영상도 있습니다.

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