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기본 점수 확보
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
기본 점수 확보
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 공통
- 수학Ⅱ · 적분
- 정적분으로 정의된 함수
- 적분과 미분의 관계
- 곱의 미분법
- 아래끝 대입 + 양변 미분
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 적분 기호 안에 갇혀 있는 f를 밖으로 꺼내는 문제입니다. 주어진 것은 등식 하나뿐이고, 이 등식은 모든 실수 x에서 성립합니다. 즉 x에 무엇을 넣어도 되고, 양변을 미분해도 됩니다. 이 두 가지 자유를 각각 한 번씩 써야 f의 정체가 드러납니다. 대입은 상수 하나를, 미분은 도함수를 내주기 때문입니다.
11번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 조작의 이중성에 있습니다. 미분만 하면 f'(x)까지는 얻지만 적분상수가 남아 f(0)을 확정할 수 없고, 대입만 하면 값 하나만 얻고 함수식을 못 세웁니다. 둘 중 하나를 빠뜨린 학생이 마지막에 막히도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 적분과 미분의 관계
d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
아래끝 a는 상수라서 미분하면 사라집니다. 좌변을 미분해 얻는 것은 f(x) 하나뿐입니다.
d/dx ∫ₐˣ f(t)dt = f(x)
아래끝 a는 상수라서 미분하면 사라집니다. 좌변을 미분해 얻는 것은 f(x) 하나뿐입니다.
② 아래끝을 대입하면 좌변은 0
x = a 대입 → ∫ₐᵃ f(t)dt = 0
이 문항의 아래끝은 −1입니다. x = −1을 넣는 순간 좌변이 통째로 사라지고 f(−1)의 값이 나옵니다.
x = a 대입 → ∫ₐᵃ f(t)dt = 0
이 문항의 아래끝은 −1입니다. x = −1을 넣는 순간 좌변이 통째로 사라지고 f(−1)의 값이 나옵니다.
③ 곱의 미분법
{x·f(x)}′ = f(x) + x·f′(x)
우변에 xf(x)가 있으므로 미분할 때 반드시 두 항으로 갈라집니다. 여기서 f(x)가 좌우로 소거되어 f′(x)만 남습니다.
{x·f(x)}′ = f(x) + x·f′(x)
우변에 xf(x)가 있으므로 미분할 때 반드시 두 항으로 갈라집니다. 여기서 f(x)가 좌우로 소거되어 f′(x)만 남습니다.
④ x로 나눌 때의 근거
다항함수 f → f′도 다항함수(연속)
x·f′(x) 꼴에서 x로 나누면 x ≠ 0에서만 성립합니다. f가 다항함수라는 조건이 x = 0까지 확장할 근거가 됩니다.
다항함수 f → f′도 다항함수(연속)
x·f′(x) 꼴에서 x로 나누면 x ≠ 0에서만 성립합니다. f가 다항함수라는 조건이 x = 0까지 확장할 근거가 됩니다.
정답 확인
정답 ③ f(0) = 8
상세 해설
더 빠른 풀이 · 차수부터 정하고 계수만 맞추기
미분한 뒤 x로 나누는 단계가 찜찜하다면, 처음부터 f의 차수를 정해 두고 계수만 비교하는 길이 있습니다.
1단계 좌변은 f를 적분한 꼴이므로 f보다 차수가 1 높습니다. 우변의 최고차항이 x³이므로 f는 이차함수입니다. f(x) = ax² + bx + c로 놓으세요.
2단계 좌변을 적분해 정리한 식과 우변을 나란히 두고 x³, x², 상수항의 계수를 차례로 비교하세요. 세 개의 일차식만 풀면 a, b, c가 모두 나옵니다.
3단계 구하는 값은 f(0)이고 이는 상수항 c 그 자체입니다. c를 얻는 순간 끝납니다.
이 방법은 f가 다항함수일 때만 통하지만, 이 문항처럼 우변에 f의 차수를 알려 주는 항이 있으면 x = 0을 따로 변명할 필요가 없어 서술형에서도 안전합니다.
실수를 줄이는 노하우
- 대입할 값은 아래끝인 −1입니다. 습관적으로 x = 0을 넣으면 좌변이 0이 되지 않고 정적분 값이 남아 한 단계를 더 돌게 됩니다. 적분 구간의 아래끝부터 확인하세요.
- x = −1을 넣을 때 −2x³은 +2가 됩니다. 홀수 차수의 부호를 놓치면 f(−1)이 통째로 달라집니다. 세제곱 항은 부호를 따로 표시해 두세요.
- 우변을 미분할 때 xf(x)를 f′(x)로만 처리하면 안 됩니다. 곱의 미분으로 두 항을 만든 뒤 f(x)를 소거하세요.
- f′(x)를 적분해 f(x)를 만들면 적분상수가 반드시 붙습니다. 이때 문제의 상수항 6을 그대로 상수로 옮겨 적으면 f(0) = 6이 되어 ①로 흘러갑니다. 상수는 f(−1) 값으로 결정하세요.
- 마지막에 구한 f를 원래 등식의 x = 1 자리에 넣어 좌변과 우변이 같은지 확인하세요. 15초면 끝나고 부호 실수를 전부 잡아냅니다.
풀이 영상
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“2026년 9월 고3 모의고사 수학 11번 해설 – 정적분으로 정의된 함수”에 대한 1개의 생각