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기본 점수 확보
3점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
기본 점수 확보
3점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
- 미적분 · 여러 가지 적분법
- 부분적분법
- 정적분의 계산
- u와 dv 선택 기준
- 원시함수 역추측
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 서로 다른 종류의 두 함수가 곱해진 적분을 다루는 문제입니다. 일차식과 지수함수는 치환으로 묶이지 않으므로 곱을 그대로 적분할 방법이 없습니다. 남은 도구는 부분적분법 하나이고, 여기서 학생이 결정해야 할 것은 딱 하나, 둘 중 어느 쪽을 미분할 자리(u)에 놓느냐입니다. 3x + 1을 미분하면 상수 3이 되어 남은 적분이 훨씬 쉬워집니다.
24번에 배치된 이유는 아이디어가 아니라 부호와 대입에 있습니다. 부분적분 공식에는 빼기가 하나 있고, 정적분이므로 대괄호마다 위끝과 아래끝을 두 번씩 대입해야 합니다. e⁰ = 1이라는 사실을 놓치는 순간 상수항이 통째로 어긋나도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 부분적분법(정적분 형태)
∫ₐᵇ u·v′ dx = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′·v dx
대괄호 항은 먼저 값으로 확정되고, 뒤의 적분만 남습니다. 두 덩어리를 따로 계산해 마지막에 빼세요.
∫ₐᵇ u·v′ dx = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u′·v dx
대괄호 항은 먼저 값으로 확정되고, 뒤의 적분만 남습니다. 두 덩어리를 따로 계산해 마지막에 빼세요.
② u는 미분해서 간단해지는 쪽
u = 3x + 1 (미분 → 3) · v′ = eˣ (적분 → eˣ)
다항식 × 지수함수에서는 항상 다항식이 u입니다. eˣ를 u로 잡으면 남은 적분이 오히려 복잡해집니다.
u = 3x + 1 (미분 → 3) · v′ = eˣ (적분 → eˣ)
다항식 × 지수함수에서는 항상 다항식이 u입니다. eˣ를 u로 잡으면 남은 적분이 오히려 복잡해집니다.
③ eˣ는 적분해도 미분해도 그대로
∫ eˣ dx = eˣ + C, e⁰ = 1
v를 만드는 과정에서 새로운 계수가 붙지 않습니다. 대신 아래끝 0에서 e⁰ = 1이 살아 있다는 점을 꼭 챙기세요.
∫ eˣ dx = eˣ + C, e⁰ = 1
v를 만드는 과정에서 새로운 계수가 붙지 않습니다. 대신 아래끝 0에서 e⁰ = 1이 살아 있다는 점을 꼭 챙기세요.
④ 남은 적분은 상수 × 지수함수
∫₀¹ 3eˣ dx = [3eˣ]₀¹
u′ = 3이 앞으로 빠져나오므로 두 번째 적분은 한 줄로 끝납니다. 부분적분을 두 번 할 문항이 아닙니다.
∫₀¹ 3eˣ dx = [3eˣ]₀¹
u′ = 3이 앞으로 빠져나오므로 두 번째 적분은 한 줄로 끝납니다. 부분적분을 두 번 할 문항이 아닙니다.
정답 확인
정답 ① e + 2
상세 해설
더 빠른 풀이 · 원시함수를 (ax+b)eˣ로 놓고 계수만 맞추기
(일차식) × eˣ의 원시함수는 반드시 (일차식) × eˣ 꼴입니다. 이 사실을 알면 부분적분 공식을 쓰지 않고 미분해서 계수만 비교하면 됩니다.
1단계 F(x) = (ax + b)eˣ로 놓고 곱의 미분법으로 미분하세요. F′(x) = (ax + a + b)eˣ가 됩니다.
2단계 이것이 (3x + 1)eˣ와 같아야 하므로 x의 계수에서 a = 3, 상수항에서 a + b = 1을 얻습니다. b는 −2입니다.
3단계 원시함수 F(x) = (3x − 2)eˣ에 위끝과 아래끝을 한 번씩만 대입하세요. 대괄호 두 개를 다루던 계산이 뺄셈 한 번으로 줄어듭니다.
이 방법은 대입 횟수가 절반으로 줄어 부호 실수가 원천적으로 사라진다는 것이 최대 장점입니다. (2x−5)eˣ, (x+4)e²ˣ처럼 계수만 바뀐 문항에도 그대로 쓰이니, 선택과목 앞번호는 이 방식으로 시간을 벌어 두세요.
실수를 줄이는 노하우
- 부분적분의 대괄호 항에서 아래끝 0을 반드시 대입하세요. (3·0+1)e⁰ = 1이라 첫 덩어리는 4e − 1입니다. 이 −1을 빠뜨리면 답이 ③ e+3으로 흘러갑니다. e⁰은 0이 아니라 1입니다.
- 공식의 가운데 부호는 뺄셈입니다. 남은 적분값 3e − 3을 더해 버리면 7e − 4처럼 선지에 없는 값이 나옵니다. 없는 값이 나왔다면 이 부호부터 확인하세요.
- 뺄 때는 괄호를 치고 빼세요. (4e − 1) − (3e − 3)에서 괄호를 풀며 −3의 부호를 바꾸지 않으면 상수항이 −4가 됩니다.
- u를 eˣ로 잡으면 남은 적분이 다항식의 적분으로 커져 계산이 길어집니다. 다항식이 u라는 원칙을 먼저 적고 시작하세요.
- 답이 나오면 (3x − 2)eˣ를 미분해 (3x + 1)eˣ가 되는지 확인하세요. 10초면 끝나고 계수와 부호 실수를 전부 잡아냅니다.
풀이 영상
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미적분 선택 문항은 전용 손풀이 영상이 아직 없어 전범위 영상의 해당 구간으로 연결했습니다.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 미적분 24번 해설 – 부분적분법”에 대한 1개의 생각