등급 가르는 문항
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학(확률과통계)
방정식의 자연수해
여사건
드모르간 법칙
d에 따른 경우 나누기
문제
자연수 a, b, c, d가 (가) a + b + c + d = 14, (나) 10a ≥ d 이고 c < d2를 모두 만족할 때, 순서쌍 (a, b, c, d)의 개수를 구하는 문제입니다. 단답형이므로 답은 세 자리 이내의 자연수입니다.
출제의도
조건 (가)만 보면 방정식의 자연수해 개수 = 중복조합이라는 가장 기본적인 유형입니다. 문제를 어렵게 만드는 것은 조건 (나)인데, 여기에는 부등식이 두 개 들어 있고 둘 다 문자끼리 얽혀 있습니다. 10a ≥ d는 a와 d를, c < d2은 c와 d를 묶습니다. 이런 조건을 정면으로 세려면 d를 1부터 11까지 훑으면서 매번 a, b, c를 다시 세야 합니다.
그래서 출제자가 심어 둔 신호가 “이고”입니다. 두 조건이 <그리고>로 묶여 있다는 것은, 뒤집으면 <또는>이 된다는 뜻입니다. 즉 여사건은 10a < d 이거나 c ≥ d2이고, 이 둘은 각각 d를 크게 밀어붙이는 조건이라 가능한 d가 몇 개 안 남습니다. 합이 14로 고정된 자연수 넷이라 d가 커질수록 여유가 급격히 줄어들기 때문입니다.
이 문항이 요구하는 실력은 세 가지입니다. ① 자연수해 조건을 a′ = a − 1 치환으로 음이 아닌 정수해로 바꿔 중복조합에 태울 수 있는가, ② 조건이 <그리고>로 묶였을 때 여사건이 <또는>이 된다는 드모르간을 반사적으로 쓰는가, ③ d를 기준으로 경우를 나눌 때 d의 상한을 스스로 확정할 수 있는가. 계산량이 아니라 이 판단 세 개로 채워진 자리입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
먼저 조건 (가)만 만족하는 전체 개수를 구해 두세요. a, b, c, d가 자연수라 그대로는 중복조합에 넣을 수 없습니다. a′ = a − 1처럼 넷 다 1씩 빼면 음이 아닌 정수가 되고 합은 14 − 4 = 10이 됩니다. 서로 다른 4개에서 중복을 허락해 10개를 뽑는 문제로 바뀝니다.
그다음 조건 (나)를 어느 방향으로 셀지 결정하세요. 부등식 두 개가 <그리고>로 묶여 있습니다. “이고”의 부정은 “또는”입니다. 정면으로 세는 것과 뒤집어 세는 것 중 어느 쪽이 경우의 수가 적은지, d의 값을 몇 개 훑어야 하는지로 비교해 보세요.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
여사건은 「10a < d」 또는 「c ≥ d2」입니다. 두 사건을 각각 A, B라 두고 n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)로 갑니다.
사건 A: a ≥ 1이므로 10a는 최소 10입니다. 10a < d가 되려면 d가 10보다 커야 합니다. 그런데 a + b + c ≥ 3이므로 d는 최대 몇까지 갈 수 있나요? 이 두 줄이 만나면 d가 하나로 못 박히고, 그때 (a, b, c)도 자동으로 정해집니다.
사건 B: c ≥ d2이니 d를 1, 2, 3, 4… 로 올려 가며 세는 것이 자연스럽습니다. 각 경우 c의 하한이 1, 4, 9, 16으로 뛰는데 c가 가질 수 있는 최댓값과 비교하면 d를 어디까지만 보면 되는지 곧바로 보입니다. 각 d마다 a′ = a − 1, b′ = b − 1, c′ = c − d2으로 치환하면 다시 중복조합입니다.
마지막으로 n(A ∩ B)를 반드시 확인하세요. A에 해당하는 순서쌍이 c ≥ d2도 만족하는지 대입 한 번이면 끝납니다.
정답 확인
정답 190
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A조건 (가) 전체 개수를 중복조합으로 구한다
a, b, c, d가 자연수이므로 a′ = a − 1, b′ = b − 1, c′ = c − 1, d′ = d − 1로 두면 a′, b′, c′, d′은 음이 아닌 정수이고
a′ + b′ + c′ + d′ = 14 − 4 = 10
이를 만족하는 순서쌍의 개수는 서로 다른 4개에서 중복을 허락해 10개를 택하는 중복조합입니다.
4H10 = 13C10 = 13C3 = 13 × 12 × 113 × 2 × 1 = 286
조건 (가)를 만족하는 순서쌍은 모두 286개입니다. 이 286개가 전체 사건이 되고, 앞으로 세는 모든 것은 이 안에서 일어납니다.
STEP B조건 (나)를 뒤집어 여사건을 잡는다
조건 (나)는 「10a ≥ d」 그리고 「c < d2」입니다. 이것의 부정은 드모르간에 의해
「10a < d」 또는 「c ≥ d2」
이 됩니다. 10a < d인 사건을 A, c ≥ d2인 사건을 B라 하면 구하는 개수는 286 − n(A ∪ B)입니다.
왜 뒤집는 쪽이 이득인가 — 정면으로 세면 d = 1부터 d = 11까지 열한 가지를 모두 훑어야 합니다. 반대로 A는 d가 10보다 커야 하고 B는 c가 d2 이상이어야 해서, 합이 14라는 좁은 예산 안에서는 가능한 d가 서너 개로 줄어듭니다. “부등호가 극단을 요구하면 여사건이 작다”가 판단 기준입니다.
STEP C사건 A — d의 상한이 d를 못 박는다
a ≥ 1이므로 10a ≥ 10이고, 10a < d를 만족하려면 d > 10이어야 합니다. …… ㉠
한편 a, b, c가 자연수이므로 a + b + c ≥ 3이고, a + b + c + d = 14에서 d ≤ 11입니다. …… ㉡
㉠과 ㉡을 함께 쓰면 d = 11로 못 박히고, 이때 a + b + c = 3이므로 셋 다 1일 수밖에 없습니다. 즉 순서쌍은 (1, 1, 1, 11) 하나뿐이고
n(A) = 1
STEP D사건 B — d를 1부터 올려 가며 센다
c ≥ d2이므로 d가 커질수록 c가 감당해야 할 하한이 1, 4, 9, 16으로 뛰어오릅니다. d 값에 따라 나눕니다.
(ⅰ) d = 1 — c ≥ 1이므로 사실상 아무 제한이 없습니다. a + b + c = 13에서 a′ = a − 1, b′ = b − 1, c′ = c − 1로 두면 a′ + b′ + c′ = 10이므로
3H10 = 12C10 = 12C2 = 66
(ⅱ) d = 2 — c ≥ 4입니다. a + b + c = 12에서 a′ = a − 1, b′ = b − 1, c′ = c − 4로 두면 a′ + b′ + c′ = 6이므로
3H6 = 8C6 = 8C2 = 28
(ⅲ) d = 3 — c ≥ 9입니다. a + b + c = 11에서 a′ = a − 1, b′ = b − 1, c′ = c − 9로 두면 a′ + b′ + c′ = 0이므로 (0, 0, 0) 하나, 즉 1가지입니다. 실제 순서쌍은 (1, 1, 9, 3)입니다.
(ⅳ) d ≥ 4 — c ≥ 16이어야 하는데 a + b + d ≥ 3이므로 c는 아무리 커도 11을 넘지 못합니다. 해당하는 순서쌍이 없습니다.
n(B) = 66 + 28 + 1 = 95
STEP E교집합을 확인하고 전체에서 뺀다
사건 A의 유일한 순서쌍 (1, 1, 1, 11)은 c = 1, d = 11이므로 d2 = 121이고 c ≥ d2을 만족하지 않습니다. 따라서
n(A ∩ B) = 0, n(A ∪ B) = 1 + 95 − 0 = 96
구하는 순서쌍의 개수는 전체에서 여사건을 뺀 값입니다.
286 − 96 = 190
1등급 다른 풀이 · 조건이 실제로 “작동하는” 구간만 찾기
여사건을 쓰지 않고도, 두 부등식이 실제로 순서쌍을 걸러 내는 구간이 어디인지부터 확인하면 정면 계산이 오히려 짧아집니다. 이 관점은 조건이 셋 이상인 변형 문항에서 훨씬 강력합니다.
① 10a ≥ d는 d = 11에서만 문제가 된다 — a ≥ 1이라 10a ≥ 10이므로 d ≤ 10이면 항상 참입니다. 그리고 d ≤ 11이므로 이 조건이 걸러 내는 것은 d = 11인 경우, 즉 (1, 1, 1, 11) 하나뿐입니다.
② c < d2은 d ≤ 3에서만 문제가 된다 — c는 아무리 커도 11이므로 d ≥ 4이면 d2 ≥ 16 > c로 항상 참입니다. 즉 실제로 따져야 할 d는 1, 2, 3뿐입니다.
그러므로 d를 세 구간으로만 나누면 됩니다.
| d | 조건이 하는 일 | (a, b, c)의 개수 |
|---|---|---|
| 1 | c < 1인 자연수 c 없음 | 0 |
| 2 | c ≤ 3, a + b + c = 12 | 10 + 9 + 8 = 27 |
| 3 | c ≤ 8, a + b + c = 11 | 9 + 8 + ⋯ + 2 = 44 |
| 4 ~ 10 | 두 조건 모두 자동 성립 | 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 = 119 |
| 11 | 10a ≥ d 위반 | 0 |
표의 계산은 모두 a + b = (합) − c인 자연수 순서쌍의 개수 = (합) − c − 1 한 줄에서 나옵니다. d가 4 이상인 구간은 조건이 아무 일도 하지 않으므로 a + b + c = 14 − d인 자연수해를 그대로 세면 되고, 합이 s일 때 그 개수는 s−1C2입니다(s = 10, 9, …, 4 → 36, 28, 21, 15, 10, 6, 3).
0 + 27 + 44 + 119 + 0 = 190
여사건 풀이와 값이 정확히 일치합니다. 이 풀이의 값어치는 “조건이 아무 일도 하지 않는 구간을 먼저 잘라 낸다”는 태도에 있습니다. 부등식 조건이 붙은 중복조합 문항은 대부분 조건이 유효한 구간이 두세 개뿐이고, 그 구간을 찾는 데 드는 시간이 전체 풀이 시간을 결정합니다.
실수를 줄이는 전략
- 여사건을 「10a < d 이고 c ≥ d2」로 잡는 것이 이 문항의 1순위 실수입니다. 조건 (나)가 <그리고>이므로 부정은 반드시 <또는>입니다. 부정을 쓸 때는 부등호만 뒤집지 말고 접속사도 함께 뒤집었는지를 소리 내어 확인하세요.
- 자연수 조건을 그대로 두고 4H14를 계산하는 실수가 잦습니다. 중복조합은 음이 아닌 정수해를 세는 도구이므로 자연수해는 반드시 1씩 빼서 합을 14 → 10으로 줄인 뒤 넣어야 합니다.
- 사건 B에서 c′ = c − 1로 통일해 버리는 실수가 많습니다. c의 하한은 d에 따라 1, 4, 9로 달라지므로 치환도 c′ = c − d2이어야 합니다. d = 2인데 c′ = c − 1로 두면 28이 아니라 다른 값이 나옵니다.
- d = 3에서 합이 0이 되는 순간 “경우가 없다”고 판단해 버리면 1개를 잃습니다. a′ + b′ + c′ = 0의 음이 아닌 정수해는 (0, 0, 0) 하나가 있습니다. 3H0 = 1로 계산해도 같습니다.
- d의 상한을 잡지 않고 d = 4, 5, 6…까지 계속 세려다 시간을 흘리는 경우가 있습니다. c의 최댓값(11)과 d2을 비교하면 d ≥ 4에서 끝난다는 것이 한 줄에 나옵니다. 경우를 나누기 전에 범위부터 확정하는 습관을 들이세요.
- n(A ∩ B)를 확인하지 않고 그냥 1 + 95 = 96으로 넘어가면 이번에는 답이 맞지만 논리가 빈 상태가 됩니다. 실제로 (1, 1, 1, 11)이 c ≥ d2을 만족했다면 답이 191로 달라집니다. 합의 법칙을 쓸 때 교집합 확인은 생략 대상이 아닙니다.
- 마지막에 전체에서 빼는 것을 잊고 96을 답으로 적는 실수가 단답형에서 특히 잦습니다. 여사건으로 풀었다면 답안지에 옮기기 전 “무엇을 구하라고 했는가”를 한 번 더 읽으세요.
이 유형이 약하면 여기를 푸세요
유형 이름: 중복조합 — 부등식 조건이 붙은 방정식의 자연수해 개수(여사건 활용) (경우의 수 단원)
쎈 확률과통계 · 경우의 수 — 중복조합의 활용(방정식의 해의 개수)쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 6~8문제
자연수해를 음이 아닌 정수해로 치환하고, 특정 문자에 하한이 걸린 경우를 처리하는 절차를 반복하는 문항들입니다.
마플 확률과통계 · 중복조합과 여사건 활용 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 5~7문제
조건이 <그리고>로 묶여 있어 정면으로 세면 경우가 폭발하고, 여사건으로 뒤집어야 끝나는 상위 문항이 포함된 유형입니다.
약술형논술·수리논술로 나오면
이 문항은 수능특강 확률과통계 ‘경우의 수’ 파트의 중복조합 전형이며, 약술형논술에서는 세는 방향을 고르고 그 이유를 쓰게 만드는 소재로 자주 쓰입니다. 논술 출제자가 이 문제를 고르는 이유는 190이라는 수를 얻기 위해서가 아니라, “왜 정면이 아니라 여사건인가”와 “왜 d로 나누는가”를 문장으로 쓰게 만들 수 있기 때문입니다. 답이 아니라 분할의 근거가 점수입니다.
답안에 반드시 들어가야 할 문장
- 자연수 조건을 a′ = a − 1 등으로 치환해 음이 아닌 정수해 문제로 바꾼 이유를 밝히고, 4H10 = 13C3 = 286을 보인다.
- 조건 (나)가 두 부등식의 <그리고>이므로 그 부정은 <또는>임을 드모르간 법칙으로 명시한다. (여기가 이 답안의 첫 배점입니다.)
- 사건 A에서 a ≥ 1 ⇒ 10a ≥ 10 ⇒ d > 10과, a + b + c ≥ 3 ⇒ d ≤ 11을 두 줄로 각각 세우고 결합해 d = 11임을 확정한다.
- 사건 B를 d의 값으로 분할하면서, 분할이 빠짐없고 겹치지 않음과 d ≥ 4에서 c ≥ 16이 불가능하므로 분할이 유한하게 끝남을 근거로 쓴다.
- 각 경우의 치환이 c′ = c − d2임을 명시하고 3H10 = 66, 3H6 = 28, d = 3일 때 1을 각각 계산한다.
- n(A ∩ B) = 0임을 (1, 1, 1, 11)에 c ≥ d2을 대입해 확인한 뒤 n(A ∪ B) = 96, 최종 286 − 96 = 190으로 마무리한다.
답은 맞았는데 깎이는 지점
- 여사건을 잡으면서 드모르간을 언급하지 않고 “반대로 하면”으로 넘어간 경우 — 이 문항에서 배점이 가장 큰 논거가 통째로 빠집니다.
- d ≥ 4를 “안 되므로 생략”으로 한 줄에 끝낸 경우 — c ≤ 11 < 16이라는 상한 비교를 쓰지 않으면 분할이 끝났다는 근거가 없습니다.
- n(A ∩ B)를 확인하지 않고 n(A ∪ B) = n(A) + n(B)로 쓴 경우 — 합의 법칙은 배반일 때만 성립하므로, 배반임을 보이지 않으면 식 자체가 성립 근거를 잃습니다.
- 중복조합 기호만 나열하고 3H6 = 8C2로 바뀌는 이유(서로 다른 3개에서 6개를 택함)를 쓰지 않은 경우 — 공식 적용의 정당성이 채점 대상입니다.
수능에서는 여사건을 눈으로 정하고 바로 계산해도 되지만, 논술 답안에서는 위 다른 풀이처럼 “조건이 실제로 작동하는 d의 구간은 1, 2, 3과 11뿐”임을 먼저 제시하면 분할의 필연성이 드러나 논증이 훨씬 강해집니다.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 확률과통계 29번 해설 – 중복조합과 조건 처리”에 대한 1개의 생각