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기본 점수 확보
2점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 확률과 통계
기본 점수 확보
2점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 확률과 통계
- 확률과 통계 · 경우의 수
- 같은 것이 있는 순열
- 계승 약분
- 자리 고르기 관점
- 중복 제거의 원리
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 서로 구별되지 않는 것이 섞여 있는 나열을 세는 문제입니다. 다섯 자리에 다섯 개의 숫자를 늘어놓는 것까지는 평범한 순열인데, 3이 세 개라서 이 세 개를 아무리 자리바꿈해도 겉보기 나열은 하나도 달라지지 않습니다. 따라서 전부 다르다고 보고 센 뒤, 겹쳐서 세어진 만큼을 나누어 덜어내야 합니다.
선택과목 첫 문항인 23번에 놓인 이유는 계산량이 아니라 정의의 즉시 인출에 있습니다. 같은 것이 있는 순열의 식을 그대로 떠올리면 10초 안에 끝나지만, 무엇으로 나누는지가 흐릿하면 다섯 자리를 손으로 나열하다가 1분 이상을 잃습니다. 뒤에 나올 4점 문항의 시간을 여기서 벌어야 하는 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 같은 것이 있는 순열
n개 중 같은 것이 각각 p개, q개 → n! ÷ (p! × q!)
나누는 수는 “같은 것의 개수의 계승”입니다. 개수 자체가 아니라 계승이라는 점이 핵심입니다.
n개 중 같은 것이 각각 p개, q개 → n! ÷ (p! × q!)
나누는 수는 “같은 것의 개수의 계승”입니다. 개수 자체가 아니라 계승이라는 점이 핵심입니다.
② 왜 나누는가
같은 것 3개 → 3! 가지 순서가 모두 같은 나열 1개
세 개의 3에 몰래 번호를 붙여 3₁, 3₂, 3₃으로 보면 서로 다른 나열이 되지만, 번호를 지우는 순간 그 3!가지가 하나로 뭉칩니다. 그만큼 중복해서 셌으므로 나눕니다.
같은 것 3개 → 3! 가지 순서가 모두 같은 나열 1개
세 개의 3에 몰래 번호를 붙여 3₁, 3₂, 3₃으로 보면 서로 다른 나열이 되지만, 번호를 지우는 순간 그 3!가지가 하나로 뭉칩니다. 그만큼 중복해서 셌으므로 나눕니다.
③ 한 개짜리는 나눌 필요가 없다
1! = 1
1과 2는 각각 한 개뿐이므로 1!로 나누어도 값이 변하지 않습니다. 식에 굳이 쓰지 않아도 됩니다.
1! = 1
1과 2는 각각 한 개뿐이므로 1!로 나누어도 값이 변하지 않습니다. 식에 굳이 쓰지 않아도 됩니다.
④ 계승끼리의 나눗셈은 약분으로
7! ÷ 5! = 7 × 6 × 5! ÷ 5! = 7 × 6
큰 계승을 끝까지 계산한 뒤 나누지 마세요. 위와 같이 뒷부분을 통째로 지우면 곱셈 두 번으로 끝납니다.
7! ÷ 5! = 7 × 6 × 5! ÷ 5! = 7 × 6
큰 계승을 끝까지 계산한 뒤 나누지 마세요. 위와 같이 뒷부분을 통째로 지우면 곱셈 두 번으로 끝납니다.
정답 확인
정답 ① 20
상세 해설
더 빠른 풀이 · 자리를 고르는 관점으로 바꾸기
계승 나눗셈이 헷갈린다면, 나열이 아니라 자리 배정으로 바꿔 보세요. 같은 것은 자리만 정해 주면 순서를 따질 필요가 없습니다.
1단계 다섯 개의 자리 중에서 3이 들어갈 자리 세 개를 고릅니다. 세 개의 3은 서로 같으므로 순서 없이 고르기, 즉 ₅C₃입니다.
2단계 남은 두 자리에 1과 2를 배열합니다. 이 둘은 서로 다르므로 2!입니다.
3단계 두 값을 곱하면 끝입니다. ₅C₃ = ₅C₂이므로 실제 계산은 (5×4)÷2 한 번뿐입니다.
이 방법은 같은 것이 한 종류이고 나머지가 모두 서로 다를 때 가장 빠릅니다. 같은 것이 두 종류 이상이면 자리를 순차적으로 고르는 방식(₅C₃ 다음 ₂C₂ 식)으로 확장되며, 이때는 오히려 계승 공식이 간단합니다. 두 관점의 답은 반드시 같아야 하므로, 시험장에서는 한쪽으로 풀고 다른 쪽으로 검산하면 좋습니다.
실수를 줄이는 노하우
- 나누는 수는 3이 아니라 3!입니다. 개수 3으로 나누면 40이 나오는데, 이 값은 선지에 없습니다. 선지에 없는 값이 나왔다면 나눈 수를 가장 먼저 의심하세요. 여기서 당황해 근처 숫자인 ②를 찍는 경우가 실제로 많습니다.
- 일렬 나열이므로 원순열이 아닙니다. (n−1)! 공식을 반사적으로 떠올려 4!을 계산하면 24가 되어 ②로 흘러갑니다. “일렬로 나열”이라는 표현을 문제에서 눈으로 확인하세요.
- 3을 세 개니까 한 덩어리로 묶는 처리는 이 문제에 맞지 않습니다. 묶음은 “이웃해야 한다”는 조건이 있을 때만 쓰는 기법이고, 이 문항에는 그런 조건이 없습니다.
- 5!을 120까지 계산한 뒤 6으로 나누는 것은 시간 낭비입니다. 5! ÷ 3!에서 3!을 먼저 약분해 두 번의 곱셈으로 끝내세요.
- 검산은 10초면 됩니다. 1이 들어갈 자리를 고르고 2가 들어갈 자리를 고르면 나머지는 자동으로 3입니다. 5가지 × 4가지가 답과 같은지만 확인하세요.
풀이 영상
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공통 문항까지 한 번에 확인하고 싶다면 전 문항 손풀이 영상도 있습니다.