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킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
킬러 문항
4점
2026학년도 9월 고3 모의평가 · 수학 미적분
- 미적분 · 적분법
- 역함수와 정적분
- 치환적분법
- 부분적분법
- cos π(t−1) = −cos πt 대칭
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 역함수 g를 끝내 구하지 않고 답을 내는 문제입니다. g(x)는 식으로 쓸 수가 없으므로 두 정적분 모두 x = f(t)로 치환합니다. 그러면 g는 t로 바뀌어 사라지고 f와 f′만 남습니다.
30번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 소거의 설계에 있습니다. 두 정적분은 따로 떼면 어느 쪽도 값이 나오지 않습니다. 첫 항의 −¼∫₁³f(t)dt와 둘째 항의 +¼∫₁³f(t)dt가 상쇄될 때 비로소 값이 남습니다. 한쪽만 처리하고 멈추면 계산할 수 없는 적분 앞에서 손이 멈춥니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① f가 증가함수임을 먼저 확인
f′(x) = 2^(2x + ½cosπx) × ln2 × (2 − (π/2)sinπx)
sinπx의 최댓값이 1이므로 괄호 안의 최솟값은 2 − π/2 ≈ 0.43입니다. 즉 f′(x) > 0이고 f는 실수 전체에서 증가하는 일대일대응입니다. 치환 구간이 유일하게 대응한다는 근거입니다.
f′(x) = 2^(2x + ½cosπx) × ln2 × (2 − (π/2)sinπx)
sinπx의 최댓값이 1이므로 괄호 안의 최솟값은 2 − π/2 ≈ 0.43입니다. 즉 f′(x) > 0이고 f는 실수 전체에서 증가하는 일대일대응입니다. 치환 구간이 유일하게 대응한다는 근거입니다.
② x = f(t) 치환의 구간 대응
x : f(1) → f(3) 이면 t : 1 → 3
f가 일대일대응이므로 위끝·아래끝이 유일하게 정해지고, g(f(t)) = t가 되어 역함수가 통째로 t로 바뀝니다.
x : f(1) → f(3) 이면 t : 1 → 3
f가 일대일대응이므로 위끝·아래끝이 유일하게 정해지고, g(f(t)) = t가 되어 역함수가 통째로 t로 바뀝니다.
③ 첫 항은 부분적분
∫₁³ t·f′(t)dt = [t·f(t)]₁³ − ∫₁³ f(t)dt
치환하면 ¼∫₁³ t f′(t)dt 꼴이고, t를 미분 쪽으로 잡으면 ∫f(t)dt가 남습니다.
∫₁³ t·f′(t)dt = [t·f(t)]₁³ − ∫₁³ f(t)dt
치환하면 ¼∫₁³ t f′(t)dt 꼴이고, t를 미분 쪽으로 잡으면 ∫f(t)dt가 남습니다.
④ 둘째 항은 g′(x)dx = dt
∫ 2^(4g(x))g′(x)/x dx = ∫₀² 2^(4t)/f(t) dt
x = f(t)이면 g(x) = t, g′(x)dx = dt이고 분모의 x는 f(t)가 됩니다. 지수를 정리하면 2^(2t − ½cosπt)입니다.
∫ 2^(4g(x))g′(x)/x dx = ∫₀² 2^(4t)/f(t) dt
x = f(t)이면 g(x) = t, g′(x)dx = dt이고 분모의 x는 f(t)가 됩니다. 지수를 정리하면 2^(2t − ½cosπt)입니다.
⑤ 코사인의 평행이동 대칭
cos π(t−1) = −cos πt
t를 1만큼 밀면 코사인 부호가 뒤집힙니다. [1, 3]으로 옮기면 지수가 f(t)와 같아지고 앞에 2⁻² = ¼이 떨어져 나옵니다.
cos π(t−1) = −cos πt
t를 1만큼 밀면 코사인 부호가 뒤집힙니다. [1, 3]으로 옮기면 지수가 f(t)와 같아지고 앞에 2⁻² = ¼이 떨어져 나옵니다.
정답 확인
정답 49 p = 2, q = 47
상세 해설
더 빠른 풀이 · 두 적분을 ∫₁³f로 맞춰 지우기
두 적분을 하나씩 계산하려 들면 둘 다 막힙니다. “소거하려고 만든 식”으로 보고 구간부터 맞추면 훨씬 짧습니다.
1단계 두 적분에 똑같이 x = f(t)를 넣으세요. 첫 항은 t : 1 → 3, 둘째 항은 t : 0 → 2입니다. 구간이 다르다는 것이 “한쪽을 밀어야 한다”는 신호입니다.
2단계 둘째 항의 2^(2t − ½cosπt)를 f(t)와 나란히 놓고 부호가 다른 곳만 보세요. 코사인 항 하나뿐이므로 t → t−1 평행이동으로 해결됩니다. 구간도 [1, 3]으로 함께 옮기세요.
3단계 이동하면 지수에 −2가 생겨 ¼∫₁³f(t)dt가 되고, 첫 항의 −¼∫₁³f(t)dt와 계수까지 맞아 사라집니다. 남는 것은 ¼(3f(3) − f(1))뿐이므로 두 값만 구하면 끝입니다.
4단계 cos3π = cosπ = −1이므로 f(3) = 32√2, f(1) = 2√2입니다. 넣고 정리한 뒤 기약분수인지 확인하세요.
이 지름길은 계수가 소거를 노리고 설계됐을 때만 통합니다. 앞의 ¼과 지수의 4g(x)가 그 표식이니, 밀기 전에 계수부터 대조하세요.
실수를 줄이는 노하우
- 치환 전에 f′(x) > 0을 확인하세요. π/2 ≈ 1.57 < 2라서 괄호 안은 항상 양수입니다. 이 확인이 없으면 치환 구간이 유일하다는 근거가 사라집니다.
- 부분적분의 − ∫₁³f(t)dt를 +로 쓰면 둘째 항과 더해져 소거가 아니라 두 배가 됩니다. 계산이 안 끝나면 십중팔구 이 부호입니다.
- [t·f(t)]₁³은 3f(3) − f(1)입니다. 계수 3을 빠뜨리면 (15/2)√2가 되어 답이 17로 흘러갑니다.
- f(3)의 지수에서 cos3π = −1입니다. +1로 두면 f(3) = 64√2가 되어 답이 97로 흘러갑니다. 3π가 π와 같은 위치임을 단위원에서 확인하세요.
- (94/4)√2까지만 정리하고 멈추면 p = 4, q = 94로 읽어 답이 98로 흘러갑니다. 서로소 조건이 있으므로 기약분수로 줄인 뒤 p와 q를 읽으세요.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 미적분 전용 영상이 없어 전범위 손풀이 영상을 연결했습니다. 30번 구간까지 이동해서 확인하세요.