기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 미적분
곡선과 직선 사이의 넓이
접선의 방정식
몫의 미분법
부분분수 분해
문제
곡선 y = 2x²+x (x > 0) 위의 점 (1, 1)에서의 접선을 l이라 할 때, 이 곡선과 직선 l 및 직선 x = 2로 둘러싸인 부분의 넓이를 묻는 문제입니다. 선지는 ① 2ln43 − 13 ② 2ln43 − 14 ③ 2ln43 − 18 ④ 2ln32 − 14 ⑤ 2ln32 − 18.
출제의도
곡선 위의 점에서 접선의 방정식을 세우고, 정적분으로 넓이를 구할 수 있는지를 묻는 문항입니다. 두 작업이 순서대로 붙어 있을 뿐 어느 쪽에도 숨은 장치가 없어서, 이 문제는 아는가를 묻는 문제가 아니라 막힘없이 이어지는가를 묻는 문제입니다.
그래도 채점표에서 갈리는 지점은 분명히 있습니다. 첫째는 2x²+x를 보고 곧바로 x(x+1)로 인수분해해 부분분수로 갈라놓는 손버릇입니다. 이 형태를 그대로 적분하려 들면 진도가 멈춥니다. 둘째는 절댓값 안의 대소 판정입니다. 접선은 접점에서 곡선에 붙어 있으므로 x = 1에서 두 식의 차가 0이 되고, 그 오른쪽에서 어느 쪽이 위인지 한 번만 확인하면 절댓값이 그대로 벗겨집니다. 이 두 손버릇이 있는 학생은 2분, 없는 학생은 5분 넘게 쓰는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
넓이를 구하려면 위에 있는 식 − 아래에 있는 식을 적분하면 됩니다. 그러니 먼저 필요한 건 직선 l의 식이고, 그건 접점 (1, 1)과 그 점에서의 미분계수만 있으면 끝납니다. 분수 꼴이니 몫의 미분법으로 도함수를 구하세요.
그다음 결정할 것은 딱 하나, [1, 2]에서 누가 위에 있는가입니다. x = 1은 접점이라 두 그래프가 붙어 있으니 판정에 쓸 수 없습니다. 구간의 반대쪽 끝인 x = 2에서 두 값을 각각 계산해 비교해 보세요. 곡선은 양수, 직선은 음수라 승부가 바로 납니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
적분식을 세웠으면 피적분함수에서 분수항을 먼저 처리하세요. x² + x = x(x+1)이므로 2x(x+1)는 2x − 2x+1로 갈라집니다. 여기까지 오면 남은 건 로그 두 개와 1차식 적분뿐입니다.
계산할 때 실수가 몰리는 곳은 아래끝 x = 1 대입입니다. ln 1 = 0이라고 해서 로그 항 전체가 0이 되는 게 아닙니다. −2ln(x+1)에는 −2ln 2가 살아남고, 이 항을 빼먹으면 로그 부분이 통째로 어긋납니다. 대입한 값을 한 줄로 늘어놓고 부호를 확인한 뒤 정리하세요.
정답 확인
정답 ② 2ln43 − 14
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A몫의 미분법으로 접선 l을 구한다
y = 2x²+x에서 y′ = −2(2x+1)(x²+x)²입니다. x = 1을 넣으면 분모는 (1+1)² = 4, 분자는 −2 × 3 = −6이므로 접선의 기울기는 −32입니다. 접점 (1, 1)을 지나므로 y = −32(x − 1) + 1, 정리하면 l : y = −32x + 52입니다.
STEP B위아래를 판정하고 절댓값을 벗긴다
구하는 넓이는 ∫12 | 2x²+x − (−32x + 52) | dx 입니다. x = 1은 접점이라 두 값이 모두 1로 같으니, 판정은 반대쪽 끝에서 합니다.
x = 2에서 곡선은 26 = 13, 직선은 −3 + 52 = −12 이므로 1 < x ≤ 2에서 곡선이 위입니다. 따라서 절댓값은 (곡선) − (직선) 그대로 벗겨집니다.
STEP C부분분수로 갈라 적분한다
x² + x = x(x+1)이므로 2x(x+1) = 2x − 2x+1이고, 피적분함수는 2x − 2x+1 + 32x − 52가 됩니다. 부정적분은 2ln x − 2ln(x+1) + 34x² − 52x이고, 적분 구간이 x > 0 안에 있으므로 절댓값 없이 ln x로 씁니다.
위끝 x = 2를 넣으면 2ln 2 − 2ln 3 + 3 − 5, 아래끝 x = 1을 넣으면 −2ln 2 + 34 − 52입니다. 빼서 정리하면 로그 부분은 4ln 2 − 2ln 3 = 2(2ln 2 − ln 3) = 2ln43, 유리수 부분은 −2 + 74 = −14입니다. 따라서 넓이는 2ln43 − 14, 정답은 ②입니다.
1등급 다른 풀이 · 곡선과 직선을 따로 계산하기
피적분함수를 한 덩어리로 묶지 않고 곡선의 정적분 − 직선의 정적분으로 나누면, 계산이 두 조각으로 쪼개지면서 검산까지 자동으로 됩니다.
곡선 쪽은 ∫12 2x(x+1) dx = [ 2lnxx+1 ]12 = 2ln23 − 2ln12 = 2ln43입니다. 두 로그를 하나로 묶어 두면 대입이 한 번에 끝나고, 아래끝의 −2ln 2를 빠뜨릴 여지가 사라집니다.
직선 쪽은 아예 적분할 필요가 없습니다. 1차함수의 정적분은 양 끝값의 평균 × 구간의 길이이기 때문입니다. x = 1에서 1, x = 2에서 −12이므로 ∫12 l dx = 1 + (−1/2)2 × 1 = 14입니다. 빼면 2ln43 − 14로 같은 답이 나옵니다.
이 풀이의 진짜 값어치는 선지 구조가 보인다는 데 있습니다. 로그 부분은 오직 곡선에서만 나오고 유리수 부분은 오직 직선에서만 나오므로, 곡선의 적분값 2ln43 하나만 맞혀도 ①②③으로 좁혀지고, 사다리꼴 14 하나만 맞혀도 ②④로 좁혀집니다. 시간이 부족할 때 둘 중 계산이 쉬운 쪽부터 잡으면 30초 안에 답이 결정됩니다.
실수를 줄이는 전략
- 아래끝 대입에서 ln 1 = 0이니 로그 항은 다 사라진다고 넘기는 실수가 가장 많습니다. x = 1에서 로그 부분은 0이 아니라 −2ln 2입니다. 이걸 빼먹으면 로그 부분이 2ln 2 − 2ln 3, 즉 ±2ln32 꼴이 되어 그대로 ④⑤로 흘러갑니다. 답이 2ln32 꼴로 나왔다면 이 줄부터 다시 보세요.
- 부분분수를 2x + 2x+1처럼 부호를 뒤집어 쓰면 로그가 통째로 어긋납니다. 갈라 쓴 뒤에는 다시 통분해서 원래 식으로 돌아오는지 머릿속으로 한 번 확인하는 3초가 안전장치입니다.
- 유리수 부분 −2 − (34 − 52) = −2 + 74 = −14에서 괄호 앞 음수 분배를 놓치면 ①이나 ③으로 갑니다. 선지가 13·14·18로 촘촘한 건 이 한 줄만 보고 만든 오답이라는 뜻입니다. 위 다른 풀이의 사다리꼴 14로 30초 만에 검산하세요.
- 대소 판정을 x = 1에서 하려다 두 값이 같아 헤매는 경우가 있습니다. 접점에서는 판정이 안 됩니다. 접선 문제에서 위아래를 가릴 때는 접점이 아닌 구간의 반대쪽 끝값을 쓰는 것이 원칙입니다.
- 접선 기울기를 구할 때 몫의 미분법의 분자 (분자)′(분모) − (분자)(분모)′ 순서를 뒤집으면 부호가 반대인 +32가 나옵니다. 그림에서 접선이 오른쪽 아래로 내려가고 있으니 기울기는 반드시 음수여야 합니다. 그림이 있는 문제는 부호를 그림으로 검산할 수 있습니다.
이 유형이 약하면 여기를 푸세요
유형 이름: 곡선과 접선으로 둘러싸인 부분의 넓이 — 유리함수 · 부분분수 (정적분의 활용 단원)
쎈 미적분 · 정적분의 활용 — 곡선과 직선 사이의 넓이 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 6~8문제
접선을 먼저 구한 뒤 위아래를 판정하고 적분하는 3단 절차가 반복되는 문항들입니다.
마플시너지 미적분Ⅱ · 유리함수·로그함수의 정적분과 넓이 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 5~7문제
분모가 인수분해되는 유리함수를 부분분수로 갈라 로그로 적분하는 계산만 모아 훈련합니다.
약술형논술·수리논술로 나오면
이 문항은 수능특강 미적분 ‘정적분의 활용’ 파트의 기본형이라 약술형논술에서 계산 서술 문항으로 그대로 옮겨 나오기 쉽습니다. 다만 논술에서 배점이 걸리는 곳은 넓이 값이 아니라 “왜 절댓값을 그 방향으로 벗겼는가”입니다. 수능에서는 그림만 보고 넘어가도 되지만, 답안에서는 [1, 2]에서 곡선이 직선보다 위라는 사실을 근거와 함께 써야 점수가 됩니다.
답안에 반드시 들어가야 할 문장
- 몫의 미분법으로 y′을 구하고 x = 1을 대입해 접선의 기울기 −32를 얻은 뒤, 접선 l : y = −32x + 52를 쓴다.
- 넓이를 정적분으로 쓸 때 1 < x ≤ 2에서 곡선이 직선보다 위임을 x = 2에서의 두 값(13과 −12) 비교로 밝히고 절댓값을 벗긴다.
- x² + x = x(x+1)로 인수분해해 부분분수 2x − 2x+1로 분해하는 과정을 보인다.
- 적분 구간이 x > 0에 포함되므로 ln|x|가 아닌 ln x로 쓸 수 있음을 밝히고, 위끝·아래끝 대입값을 각각 제시해 2ln43 − 14로 마무리한다.
답은 맞았는데 깎이는 지점
- 대소 판정 없이 (곡선) − (직선)으로 곧장 적분한 경우 — 이 문항에서 가장 확실한 감점 포인트입니다. 그림에 그렇게 보인다는 것은 근거가 아닙니다.
- 부분분수 분해를 결과만 적은 경우 — 통분해서 원식과 일치함을 한 줄로 보이거나 계수를 구하는 과정을 남겨야 합니다.
- 아래끝 대입값을 생략하고 위끝 값만 쓴 경우 — 계산이 맞아도 정적분의 정의를 지키지 않은 서술이 됩니다.
수능에서는 STEP A~C를 그대로 밟는 것이 가장 빠르지만, 논술 답안에서는 위 다른 풀이처럼 곡선의 적분과 직선의 적분을 분리해 쓰면 각 조각의 근거가 따로 드러나 서술이 훨씬 깔끔해집니다.