기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 미적분
등비수열의 수렴 조건
정수해 세기
부등식의 양 끝 처리
수능특강 미적분 연계
문제
정수 k에 대하여 수열 {aₙ}의 일반항이 aₙ=k²−2016의 n제곱일 때, 수열 {aₙ}이 수렴하도록 하는 k의 개수를 묻는 문제입니다. 선지는 ① 2 ② 5 ③ 8 ④ 11 ⑤ 14.
출제의도
이 문항은 일반항이 (어떤 수)ⁿ 꼴로 주어진 수열을 ‘공비가 그 수인 등비수열’로 읽고, 등비수열이 수렴하는 공비의 범위 −1<r≤1을 그대로 적용하는 문제입니다. 공비 자리에 k가 들어 있으니 수렴 조건은 k에 대한 부등식이 되고, 그 부등식을 만족하는 정수 k를 세면 끝납니다.
25번에 배치된 이유는 계산이 아니라 범위의 양 끝을 정확히 아는지 묻기 위해서입니다. r=1이면 수열은 1, 1, 1, … 로 수렴하지만 r=−1이면 1, −1, 1, … 로 진동하며 발산합니다. 그래서 왼쪽 끝은 열려 있고 오른쪽 끝은 닫혀 있는데, 이 비대칭을 |r|<1로 뭉뚱그리면 정수 두 개가 사라집니다. 개념 한 줄을 정확히 외웠는지 확인하는 문항입니다.
단계별 힌트
힌트 1단계 · 발상과 연결고리
일반항이 (식)ⁿ 꼴이면 그 수열은 첫째항과 공비가 모두 그 식인 등비수열입니다. 즉 이 문제의 공비는 r=k²−2016이고, k가 정수이므로 r은 k에 따라 정해지는 하나의 수입니다.
이제 ‘등비수열 {rⁿ}이 수렴한다’는 조건을 r의 범위 한 줄로 적어 보세요. 양 끝점 두 개를 각각 포함하는지 아닌지까지 정확히 써 두면, 나머지는 k에 대한 부등식을 푸는 일로 바뀝니다.
힌트 2단계 · 풀이 설계 (계산은 직접 해보세요)
수렴 조건은 −1<r≤1입니다. 여기에 r을 대입하면 부등식 두 개가 한꺼번에 생기고, 양변에 16을 곱한 뒤 20을 더하면 k²의 범위가 나옵니다. 왼쪽 부등호와 오른쪽 부등호가 서로 다르다는 것을 끝까지 유지하세요.
k²의 범위를 얻었으면 그것을 만족하는 정수 k를 직접 나열하세요. k²에 대한 범위이므로 k는 양수와 음수가 짝으로 나옵니다. 마지막 관문은 양 끝의 정수가 들어가는지 빠지는지와 부호 짝을 빠뜨리지 않았는지 두 가지를 확인하는 것입니다.
정답 확인
정답 ③ 8개
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A등비수열임을 확인하고 공비를 잡는다
aₙ=rⁿ 꼴이므로 {aₙ}은 공비 r=k²−2016인 등비수열입니다. k가 정수이므로 r은 특정한 유리수 하나이고, 수렴 여부는 오직 이 r의 크기로 결정됩니다.
STEP B수렴 조건을 k의 부등식으로 옮긴다
등비수열 {rⁿ}이 수렴하려면 −1<r≤1이어야 합니다. r=1이면 모든 항이 1로 수렴하고, r=−1이면 부호가 번갈아 바뀌며 발산하므로 왼쪽만 열립니다.
−1<k²−2016≤1 의 양변에 16을 곱하면 −16<k²−20≤16, 20을 더하면 4<k²≤36
STEP C정수 k를 나열해 센다
4<k²≤36은 2<|k|≤6과 같습니다. |k|=3, 4, 5, 6이 가능하고 각각 양수와 음수 하나씩이므로 k=±3, ±4, ±5, ±6입니다. k²=4인 k=±2는 왼쪽 끝이 열려 있어 빠지고, k²=36인 k=±6은 오른쪽 끝이 닫혀 있어 들어갑니다. 따라서 개수는 4×2=8, 정답은 ③입니다.
1등급 다른 풀이 · |k|의 수직선으로 한 번에 읽기
부등식을 k²로 두지 않고 처음부터 |k|로 읽으면 세는 과정이 눈에 보입니다.
수렴 조건은 공비가 (−1, 1] 안에 있다는 뜻이고, 공비는 k²에 대해 증가하는 식이므로 k²의 허용 구간도 (4, 36] 하나로 정해집니다. 제곱근을 씌우면 |k|∈(2, 6]이고, 수직선 위에서 2 바로 오른쪽부터 6까지의 정수는 3, 4, 5, 6 네 개입니다. k는 |k|의 부호를 뒤집은 것까지 포함하므로 곧바로 8개가 됩니다. 이 문제에서 정말로 판단할 것은 ‘2가 빠지고 6이 들어가는가’ 하나뿐이라는 사실이 이 읽기에서 분명해집니다.
실수를 줄이는 전략
- 수렴 조건을 |r|<1로 외우고 있으면 r=1을 놓칩니다. 그러면 k²=36이 빠져 k=±6 두 개가 사라지고 개수가 6이 되는데, 선지에 6이 없어 당황하게 됩니다. 조건은 반드시 −1<r≤1로 외우세요.
- 반대로 −1≤r≤1로 두면 k=±2가 들어와 10개가 됩니다. r=−1일 때 1, −1, 1, −1, … 로 진동한다는 것을 직접 떠올려 왼쪽 끝을 열어 두세요.
- k²≤36만 보고 −6부터 6까지 정수 13개를 세어 놓고 ±2만 빼면 11개가 되어 ④로 흘러갑니다. 4<k²는 k=0, ±1도 함께 제외한다는 뜻입니다. k²에 대한 범위는 항상 |k| 범위로 바꿔서 세세요.
- |k| 기준으로 3, 4, 5, 6 네 개를 구해 놓고 부호 짝을 잊으면 4개가 되어 선지에 없습니다. k가 ‘정수’라고 했으면 음수 짝을 끝에 반드시 곱하세요.
이 유형이 약하면 여기를 푸세요
유형 이름: 등비수열의 수렴 조건과 미지수의 범위 (수열의 극한 단원)
쎈 미적분 · 01 수열의 극한 — 등비수열의 수렴 조건 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 6~8문제
공비에 미지수가 들어간 등비수열이 수렴하도록 하는 범위를 묻는 문제들만 모아 반복합니다.
마플시너지 미적분 · 수열의 극한 — 등비수열의 극한 유형쪽수·문항 범위: ⚠️ 매핑 필요 · 권장 5~7문제
정수 조건이 붙어 개수를 세는 변형까지 이어지는 문항들입니다.
약술형논술·수리논술로 나오면
이 문항은 수능특강 미적분 ‘수열의 극한’ 단원 중 등비수열의 극한 파트의 직접적인 연장선입니다. 논술 출제자가 이 문제를 고르는 이유는 계산이 아니라 ‘왜 왼쪽은 열리고 오른쪽은 닫히는가’를 말로 설명하게 만들 수 있기 때문입니다. 답이 8이라는 것보다 그 근거를 문장으로 쓸 수 있는지가 점수를 가릅니다.
답안에 반드시 들어가야 할 문장
- {aₙ}이 공비 (k²−20)/16인 등비수열임을 먼저 명시한다.
- 등비수열 {rⁿ}의 수렴 조건이 −1<r≤1임을 쓰고, r=1이면 수렴·r=−1이면 진동 발산이라는 근거를 한 줄 덧붙인다.
- 부등식 변형 과정(16을 곱하고 20을 더함)을 생략하지 않고 4<k²≤36까지 보인다.
- 정수 k를 실제로 나열(±3, ±4, ±5, ±6)한 뒤 개수 8을 쓴다.
답은 맞았는데 깎이는 지점
- 수렴 조건을 |r|<1로 쓰고 결과만 8로 맞춘 경우 — 논리와 답이 어긋나 근거 점수를 잃습니다.
- “4<k²≤36이므로 8개”처럼 나열 없이 건너뛴 경우 — 세는 과정이 채점 대상입니다.
수능에서는 조건 −1<r≤1을 외워 바로 쓰면 되지만, 논술 답안에서는 r=−1일 때 발산하는 이유를 한 문장으로 써야 점수가 됩니다.