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기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통
기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통
다항함수의 미분법접선의 방정식미분계수접점 미지수 설정조건 선별
배점3점
권장 풀이 시간2분 30초
이 문제의 등급 의미계산은 3점, 함정은 4점입니다. 두 접점 중 하나를 걸러내지 못하면 통째로 틀립니다.
출제의도
이 문항은 “기울기가 정해진 접선”이라는 조건을 접점에서의 미분계수 방정식으로 옮기는 문제입니다. 접점의 좌표가 주어지지 않았으므로 학생이 스스로 접점의 x좌표를 미지수 t로 잡고, f′(t) = 8이라는 방정식을 세워야 합니다. 접선 문제의 세 유형 중 기울기가 주어진 유형의 표준형입니다.
19번 3점 자리에 놓였지만, 실제 배점 이상의 함정이 하나 심겨 있습니다. f′(t) = 8이 이차방정식이라 접점이 두 개 나오고, 문제는 “y절편이 양수인 직선”이라는 한 마디로 그중 하나만 남기도록 설계되어 있습니다. 난이도의 정체는 계산량이 아니라 조건의 선별입니다. 두 접점을 모두 구했느냐가 아니라, 구한 뒤 조건에 맞는 쪽을 골랐느냐가 갈림길입니다.
문제
풀이에 필요한 핵심 내용
- 접선의 기울기 = 접점에서의 미분계수 — 곡선 y = f(x) 위의 점 (t, f(t))에서 그은 접선의 기울기는 f′(t)입니다. 기울기가 8로 주어졌다는 말은 곧 f′(t) = 8이라는 뜻입니다.
- 접점을 t로 두는 것이 출발점 — 접점의 좌표를 모를 때는 x좌표를 t로 잡습니다. 그러면 접선은 y = f′(t)(x − t) + f(t) 하나의 식으로 표현됩니다.
- 삼차함수의 도함수는 이차식 — f(x) = x³ − 3x² − x + 2이면 f′(x) = 3x² − 6x − 1입니다. 따라서 f′(t) = 8은 이차방정식이 되고, 접점이 최대 두 개 생깁니다. 삼차곡선에 같은 기울기의 접선이 둘 그어질 수 있다는 것이 이 문제의 뼈대입니다.
- y절편은 직접 계산해서 판정한다 — 기울기 8인 직선을 y = 8x + a로 두면 a가 곧 y절편입니다. 접점을 대입해 a를 구한 뒤 a > 0인 쪽만 살립니다.
- 마지막에 묻는 것은 k — 직선의 방정식이 아니라 그 직선이 점 (1, k)를 지날 때의 k입니다. x = 1을 대입하는 단계가 한 번 더 남아 있습니다.
정답 확인
정답 15
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A접점을 t로 놓고 기울기 조건을 방정식으로 바꿉니다
f(x) = x³ − 3x² − x + 2에서 f′(x) = 3x² − 6x − 1입니다. 접점의 x좌표를 t라 하면 접선의 기울기가 8이라는 조건은 f′(t) = 8, 즉 3t² − 6t − 1 = 8이 됩니다. 이를 정리하면 3t² − 6t − 9 = 0이고, 3으로 나누면 t² − 2t − 3 = 0이므로 (t + 1)(t − 3) = 0에서 t = −1 또는 t = 3입니다.
f(x) = x³ − 3x² − x + 2에서 f′(x) = 3x² − 6x − 1입니다. 접점의 x좌표를 t라 하면 접선의 기울기가 8이라는 조건은 f′(t) = 8, 즉 3t² − 6t − 1 = 8이 됩니다. 이를 정리하면 3t² − 6t − 9 = 0이고, 3으로 나누면 t² − 2t − 3 = 0이므로 (t + 1)(t − 3) = 0에서 t = −1 또는 t = 3입니다.
STEP B두 접점 각각에 대해 y절편을 구해 조건으로 거릅니다
구하는 직선을 y = 8x + a로 두면 a가 y절편이고, 조건은 a > 0입니다. 접점 (t, f(t))가 이 직선 위에 있으므로 f(t) = 8t + a에서 a = f(t) − 8t로 계산합니다.
구하는 직선을 y = 8x + a로 두면 a가 y절편이고, 조건은 a > 0입니다. 접점 (t, f(t))가 이 직선 위에 있으므로 f(t) = 8t + a에서 a = f(t) − 8t로 계산합니다.
(ⅰ) t = −1일 때 f(−1) = −1 − 3 + 1 + 2 = −1이므로 a = −1 − 8×(−1) = 7입니다. a > 0을 만족하므로 채택합니다.
(ⅱ) t = 3일 때 f(3) = 27 − 27 − 3 + 2 = −1이므로 a = −1 − 8×3 = −25입니다. y절편이 음수이므로 조건에 맞지 않아 버립니다.
STEP C살아남은 직선에 점을 대입합니다
구하는 직선은 y = 8x + 7이고, 이 직선이 점 (1, k)를 지나므로 x = 1을 대입하면 k = 8×1 + 7 = 15가 됩니다. 따라서 k = 15입니다.
구하는 직선은 y = 8x + 7이고, 이 직선이 점 (1, k)를 지나므로 x = 1을 대입하면 k = 8×1 + 7 = 15가 됩니다. 따라서 k = 15입니다.
효율적인 풀이 스킬
- y절편은 a = f(t) − 8t 한 줄로 뽑는다. 접선의 방정식 y = f′(t)(x − t) + f(t)를 전개해 보면 y절편은 f(t) − t·f′(t)입니다. 이 문제에서는 f′(t) = 8이므로 a = f(t) − 8t가 되어, 접선 식을 매번 세우지 않고 두 접점의 y절편을 각각 한 줄에 계산할 수 있습니다. t = −1 → −1 + 8 = 7, t = 3 → −1 − 24 = −25. 여기까지 30초면 끝납니다.
- 계수를 먼저 나누고 인수분해한다. 3t² − 6t − 9 = 0을 그대로 근의 공식에 넣지 마세요. 3으로 나눠 t² − 2t − 3 = 0으로 만들면 (t + 1)(t − 3)이 눈에 바로 들어옵니다. 삼차함수 접선 문제에서 도함수 방정식의 계수가 3의 배수인 경우가 대부분이므로 습관으로 만들어 두면 좋습니다.
- 조건 문구에 미리 동그라미를 친다. “y절편이 양수인”이라는 여섯 글자가 이 문제의 배점 전부를 결정합니다. 문제를 읽는 단계에서 표시해 두면, 접점을 두 개 구한 순간 자동으로 선별 단계를 떠올리게 됩니다.
- k는 y절편이 아니라 x = 1에서의 y값이다. a = 7까지 구하고 멈추는 실수가 가장 흔합니다. 문제가 요구하는 최종 대상을 풀이 시작 전에 여백에 k = ? 로 적어 두세요.
- 검산은 접점 하나만 대입한다. y = 8x + 7에 접점 x = −1을 넣으면 8×(−1) + 7 = −1이고, f(−1) = −1과 일치합니다. 이 한 번의 대입으로 직선과 곡선이 실제로 만나는지 확인되므로 전체를 다시 풀 필요가 없습니다.
실수를 줄이는 노하우
- y절편 조건을 확인하지 않고 t = 3으로 진행 — 두 근 중 큰 값을 고르는 습관 때문에 t = 3만 계산하면 a = −25, k = 8 − 25 = −17이 나옵니다. 음수 답이 나왔다면 단답형 문항의 답 범위(0 이상의 세 자리 이하 정수)를 벗어난 것이므로, 그 자체가 조건을 놓쳤다는 신호입니다.
- f′(t) = 8이 아니라 f(t) = 8로 세움 — “기울기가 8″을 함숫값 조건으로 옮기면 삼차방정식이 되어 풀리지 않습니다. 기울기는 언제나 도함수에 대한 조건입니다.
- 3t² − 6t − 1 = 8을 옮길 때 부호 실수 — 우변의 8을 넘기면서 3t² − 6t + 7 = 0으로 쓰면 실근이 없어져 풀이가 막힙니다. −1 − 8 = −9임을 확인하세요.
- k를 y절편 7로 답함 — 직선 y = 8x + 7까지 구해 놓고 마지막 대입을 잊으면 7이 답이 됩니다. 계산이 모두 맞았는데 답만 틀리는 가장 아까운 경로입니다.
- 접점의 x좌표 −1이나 3을 답으로 씀 — 미지수를 t로 잡았기 때문에 t와 k가 뒤섞이기 쉽습니다. t는 도구, k가 목적이라는 것을 풀이 첫 줄에 구분해 적어 두세요.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 19번 해설 – 기울기가 주어진 접선”에 대한 1개의 생각