17
기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점 · 단답형
기본 점수 확보
2026년 09월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점 · 단답형
아래 문제를 먼저 직접 풀어본 뒤 해설을 확인하세요.
출제의도
도함수 f′(x)와 한 점에서의 함숫값 f(0)이 주어지고, 다른 점에서의 함숫값 f(1)을 묻는 문제입니다. 도함수만으로는 f(x)가 하나로 결정되지 않고 상수만큼의 자유도가 남으므로, 주어진 f(0) = 10 을 써서 그 자유도를 없애야 합니다. 이 문항이 확인하는 것은 부정적분의 계수 처리와 적분상수의 결정입니다.
3점 배점답게 계산은 세 줄이면 끝나지만, 적분상수를 잊는 순간 답이 통째로 달라집니다. 조건 f(0) = 10 이 문제에 등장한 이유가 오직 상수를 정하기 위해서라는 점을 알아차리면, 이 문제는 읽는 즉시 구조가 보입니다.
이 문제를 풀기 위한 핵심 정리
다항함수의 부정적분
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
지수를 하나 올리고, 올라간 그 지수로 계수를 나눕니다. 6x² 는 지수가 3이 되고 6을 3으로 나누어 2x³, −2x 는 지수가 2가 되고 −2를 2로 나누어 −x² 입니다.
∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹ / (n+1) + C
지수를 하나 올리고, 올라간 그 지수로 계수를 나눕니다. 6x² 는 지수가 3이 되고 6을 3으로 나누어 2x³, −2x 는 지수가 2가 되고 −2를 2로 나누어 −x² 입니다.
적분상수는 조건으로 결정한다
f(x) = ∫ f′(x) dx = (원시함수) + C
도함수가 같은 함수는 위아래로 평행이동한 만큼 무수히 많습니다. f(0) = 10 처럼 한 점을 지정해 주어야 그중 하나가 정해집니다.
f(x) = ∫ f′(x) dx = (원시함수) + C
도함수가 같은 함수는 위아래로 평행이동한 만큼 무수히 많습니다. f(0) = 10 처럼 한 점을 지정해 주어야 그중 하나가 정해집니다.
정적분은 함숫값의 변화량
f(b) − f(a) = ∫ f′(x) dx (a에서 b까지)
이 식을 쓰면 적분상수 C를 아예 구하지 않고도 f(1)에 도달할 수 있습니다. 아래 ‘더 빠르게 푸는 방법’에서 이 경로를 씁니다.
f(b) − f(a) = ∫ f′(x) dx (a에서 b까지)
이 식을 쓰면 적분상수 C를 아예 구하지 않고도 f(1)에 도달할 수 있습니다. 아래 ‘더 빠르게 푸는 방법’에서 이 경로를 씁니다.
검산은 미분으로
구한 f(x)를 미분하면 f′(x)로 돌아와야 한다
적분과 미분은 서로 되돌리는 연산이므로, 계수를 잘못 나눴는지 5초 안에 확인할 수 있습니다.
구한 f(x)를 미분하면 f′(x)로 돌아와야 한다
적분과 미분은 서로 되돌리는 연산이므로, 계수를 잘못 나눴는지 5초 안에 확인할 수 있습니다.
정답 확인
정답 11
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
도함수를 적분해 f(x)의 꼴을 만듭니다
f′(x) = 6x² − 2x 를 적분하면 f(x) = 2x³ − x² + C 입니다. 6x² 에서 지수를 3으로 올리고 6을 3으로 나누어 2x³ 이 되고, −2x 에서 지수를 2로 올리고 −2를 2로 나누어 −x² 이 됩니다. 여기서 C 는 아직 값이 정해지지 않은 적분상수입니다.
도함수를 적분해 f(x)의 꼴을 만듭니다
f′(x) = 6x² − 2x 를 적분하면 f(x) = 2x³ − x² + C 입니다. 6x² 에서 지수를 3으로 올리고 6을 3으로 나누어 2x³ 이 되고, −2x 에서 지수를 2로 올리고 −2를 2로 나누어 −x² 이 됩니다. 여기서 C 는 아직 값이 정해지지 않은 적분상수입니다.
STEP B
주어진 조건으로 적분상수를 정합니다
x = 0 을 대입하면 2·0 − 0 + C = C 이므로 f(0) = C 입니다. 조건이 f(0) = 10 이므로 C = 10 으로 확정됩니다. 상수항만 남는 x = 0 대입이라 계산이 전혀 필요 없습니다.
주어진 조건으로 적분상수를 정합니다
x = 0 을 대입하면 2·0 − 0 + C = C 이므로 f(0) = C 입니다. 조건이 f(0) = 10 이므로 C = 10 으로 확정됩니다. 상수항만 남는 x = 0 대입이라 계산이 전혀 필요 없습니다.
STEP C
완성된 함수에 x = 1을 대입합니다
f(x) = 2x³ − x² + 10 이므로 f(1) = 2 − 1 + 10 입니다. 따라서 구하는 값은 11 입니다.
완성된 함수에 x = 1을 대입합니다
f(x) = 2x³ − x² + 10 이므로 f(1) = 2 − 1 + 10 입니다. 따라서 구하는 값은 11 입니다.
더 빠르게 푸는 방법
적분상수를 아예 구하지 않는 경로
f(1) = f(0) + ∫ f′(x) dx (0에서 1까지) 로 바로 갑니다. 정적분 값은 [2x³ − x²] 에 1과 0을 넣은 차이이므로 (2 − 1) − 0 = 1 이고, 여기에 f(0) = 10 을 더해 11 입니다. C를 쓰고 대입해 결정하는 두 단계가 통째로 사라집니다.
f(1) = f(0) + ∫ f′(x) dx (0에서 1까지) 로 바로 갑니다. 정적분 값은 [2x³ − x²] 에 1과 0을 넣은 차이이므로 (2 − 1) − 0 = 1 이고, 여기에 f(0) = 10 을 더해 11 입니다. C를 쓰고 대입해 결정하는 두 단계가 통째로 사라집니다.
계수는 나눗셈으로 암산
다항식의 부정적분은 ‘지수 +1, 그 지수로 나누기’ 두 동작뿐입니다. 6 ÷ 3 = 2, 2 ÷ 2 = 1 이라는 나눗셈만 머릿속에서 처리하면 f(x)의 꼴이 한 번에 써집니다. 항이 늘어나도 같은 규칙이 반복될 뿐입니다.
다항식의 부정적분은 ‘지수 +1, 그 지수로 나누기’ 두 동작뿐입니다. 6 ÷ 3 = 2, 2 ÷ 2 = 1 이라는 나눗셈만 머릿속에서 처리하면 f(x)의 꼴이 한 번에 써집니다. 항이 늘어나도 같은 규칙이 반복될 뿐입니다.
미분으로 되돌려 검산
2x³ − x² + 10 을 미분하면 6x² − 2x 로 문제의 f′(x)와 정확히 일치합니다. 계수를 잘못 나눴다면 이 단계에서 바로 드러나므로, 적분이 들어간 문제는 답을 쓰기 전에 반드시 한 번 미분해 보세요.
2x³ − x² + 10 을 미분하면 6x² − 2x 로 문제의 f′(x)와 정확히 일치합니다. 계수를 잘못 나눴다면 이 단계에서 바로 드러나므로, 적분이 들어간 문제는 답을 쓰기 전에 반드시 한 번 미분해 보세요.
정적분 경로를 쓰면 여백에 쓰는 줄은 두 줄, 검산까지 포함해 30초 안에 끝나는 문제입니다. 여기서 아낀 시간을 뒤쪽 4점 문항에 넘겨야 합니다.
이 문제에서 실제로 틀리는 지점
- 적분상수 누락 — f(x) = 2x³ − x² 으로 두고 계산하면 f(1) = 1 이 나옵니다. 정답 11 과 정확히 10 차이인데, 그 10이 바로 버려진 C 입니다. 부정적분을 쓴 줄 끝에 + C 를 먼저 적는 습관으로 막으세요.
- 계수를 나누지 않음 — 지수만 올리고 6x³ 또는 3x³ 으로 쓰는 실수입니다. 6x³ 이면 f(1) = 6 − 1 + 10 = 15 가 나옵니다. 올린 지수로 반드시 나눈다는 순서를 지키세요.
- −2x 의 부호 처리 — 적분하면서 +x² 으로 바꾸면 f(1) = 2 + 1 + 10 = 13 이 됩니다. 부호는 계수에 붙어 그대로 따라간다고 생각하세요.
- f(0)과 f′(0)의 혼동 — 주어진 10은 원함수의 값이지 도함수의 값이 아닙니다. f′(0) = 0 이므로 이를 혼동하면 조건이 모순처럼 보이고 풀이가 멈춥니다.
- 묻는 값 확인 — 이 문제가 요구하는 것은 f(1)이지 f′(1)이 아닙니다. f′(1) = 6 − 2 = 4 로 계산해 4를 적는 실수가 실제로 나옵니다. 답을 쓰기 직전에 문제의 마지막 문장을 한 번 더 읽으세요.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요.