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킬러 문항
4점
2026년 09월 고3 모의평가 수학 (공통)
킬러 문항
4점
2026년 09월 고3 모의평가 수학 (공통)
출제의도
이 문항은 조각함수의 정의를 시그마 안에서 항별로 판별하게 만드는 문제입니다. f(x)는 x가 자연수인지 아닌지로 값이 갈리므로, f(∛k)를 구할 때 물어야 할 것은 k가 자연수인지가 아니라 ∛k가 자연수인지입니다. 이 판별만 정확히 하면 각 항은 자연수이거나 m²/5 꼴, 둘 중 하나로 정리됩니다.
14번 자리에 배치된 이유는 누적합의 나머지입니다. 300개의 항을 더하는 문제처럼 보이지만 실제로는 5로 나눈 나머지가 0이 되는 지점을 찾는 문제이고, n이 세제곱수를 지날 때마다 그 나머지가 바뀝니다. 그래서 n을 개별 값이 아니라 세제곱수로 잘린 구간 단위로 관리해야 하고, 그 관리 능력이 이 문항의 난이도입니다.
이 문제를 풀려면 이것만 알면 됩니다
- 분모부터 정리 — k는 항상 자연수이므로 f(k)=1/k이고 5f(k)=5/k입니다. 즉 각 항은 f(∛k)에 k/5를 곱한 값입니다.
- 갈림길은 ∛k — k가 어떤 자연수 m의 세제곱이면 f(∛k)=1/m이므로 항은 m³/(5m)=m²/5가 됩니다. 세제곱수가 아니면 f(∛k)=5이므로 항은 k가 되어 자연수입니다.
- 자연수 부분은 버린다 — 세제곱수가 아닌 항은 전부 자연수이므로 합이 자연수인지 여부에 아무 영향을 주지 않습니다. 남는 것은 m²/5들의 합뿐입니다.
- 판정 조건 — n 이하의 세제곱수 개수를 M이라 하면, 합이 자연수일 조건은 1²+2²+⋯+M²이 5의 배수인 것입니다.
- 범위 확인 — 6³=216, 7³=343이므로 n이 300 이하일 때 M은 1부터 6까지만 나옵니다. 검사할 경우가 여섯 가지뿐이라는 뜻입니다.
정답 확인
정답 ⑤
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
항을 두 종류로 나눕니다
분모의 5f(k)는 k가 자연수이므로 언제나 5/k입니다. 분자 f(∛k)만 갈리는데, k가 세제곱수 m³이면 1/m이고 아니면 5입니다. 그래서 각 항은 m²/5이거나 k, 둘 중 하나입니다.
항을 두 종류로 나눕니다
분모의 5f(k)는 k가 자연수이므로 언제나 5/k입니다. 분자 f(∛k)만 갈리는데, k가 세제곱수 m³이면 1/m이고 아니면 5입니다. 그래서 각 항은 m²/5이거나 k, 둘 중 하나입니다.
STEP B
자연수 항은 즉시 버립니다
세제곱수가 아닌 k에서 나온 항은 값이 k 그 자체이므로 항상 자연수입니다. 자연수를 아무리 더해도 자연수이므로 판정에 영향을 주지 않습니다. 따라서 추적할 것은 세제곱수에서 나온 m²/5들의 합, 즉 (1²+2²+⋯+M²)/5 하나뿐입니다.
자연수 항은 즉시 버립니다
세제곱수가 아닌 k에서 나온 항은 값이 k 그 자체이므로 항상 자연수입니다. 자연수를 아무리 더해도 자연수이므로 판정에 영향을 주지 않습니다. 따라서 추적할 것은 세제곱수에서 나온 m²/5들의 합, 즉 (1²+2²+⋯+M²)/5 하나뿐입니다.
STEP C
M을 1부터 6까지 검사합니다
M을 1부터 6까지 검사합니다
누적합 1²+⋯+M²은 M=1부터 차례로 1, 5, 14, 30, 55, 91입니다. 5로 나눈 나머지는 1, 0, 4, 0, 0, 1입니다. (6가지)
나머지가 0인 M은 2, 4, 5뿐입니다. 즉 n 이하의 세제곱수가 정확히 2개, 4개, 5개일 때만 합이 자연수가 됩니다. (통과 3가지)
STEP D
M을 n의 구간으로 되돌립니다
M=2는 8≤n<27이므로 19개, M=4는 64≤n<125, M=5는 125≤n<216입니다. 뒤의 두 구간은 맞붙어 있으므로 64≤n<216으로 합치면 152개입니다. 따라서 조건을 만족하는 n의 개수는 19+152=171이 되어 정답은 ⑤입니다.
M을 n의 구간으로 되돌립니다
M=2는 8≤n<27이므로 19개, M=4는 64≤n<125, M=5는 125≤n<216입니다. 뒤의 두 구간은 맞붙어 있으므로 64≤n<216으로 합치면 152개입니다. 따라서 조건을 만족하는 n의 개수는 19+152=171이 되어 정답은 ⑤입니다.
더 빨리 푸는 법
- 합이 아니라 나머지만 추적하세요 — 1, 5, 14, 30, 55, 91을 다 적을 필요 없이 m²의 나머지만 누적하면 됩니다. m=1부터 m²을 5로 나눈 나머지는 1, 4, 4, 1, 0이고, 이를 누적한 나머지는 1, 0, 4, 0, 0입니다. 숫자가 한 자리로만 유지되어 암산으로 끝납니다.
- 5주기로 반복된다는 것을 알아두세요 — 1²+⋯+5²=55는 5의 배수이므로, 누적 나머지 패턴 1, 0, 4, 0, 0은 M이 5씩 늘어날 때마다 그대로 되풀이됩니다. M=6이 M=1과 같은 결과(나머지 1)가 나오는 이유가 이것이고, 상한이 300보다 커져도 표를 새로 만들 필요가 없습니다.
- 연속한 구간은 붙여서 세세요 — 통과하는 M이 4와 5로 연달아 나오면 64≤n<125와 125≤n<216을 따로 세지 말고 64≤n<216으로 합쳐 216−64=152로 한 번에 처리합니다. 경계에서 틀릴 자리가 하나 줄어듭니다.
- 개수는 세제곱수의 뺄셈 — M이 일정하게 유지되는 n의 범위는 m³≤n<(m+1)³이므로 개수는 두 세제곱수의 차입니다. 27−8=19처럼 뺄셈 한 번으로 나오니 일일이 세지 마세요.
실수를 줄이는 노하우
- f(∛k)를 구할 때 “k가 자연수니까”라는 이유로 모든 항에 1/∛k를 적용하는 경우입니다. 판단 기준은 k가 아니라 ∛k이므로, k가 세제곱수일 때만 1/∛k를 쓰고 나머지는 5를 씁니다. 이 한 줄이 어긋나면 이후 계산이 전부 무의미해집니다.
- 세제곱수가 아닌 항의 값 k를 실제로 더하려다 시간을 다 쓰는 경우입니다. 자연수는 몇 개를 더해도 자연수라는 점만 확인하고 즉시 버리세요. 이 문제에서 손으로 계산할 것은 m²/5의 합 하나뿐입니다.
- M=5 구간(125≤n<216)을 빠뜨리는 경우입니다. 55가 5의 배수라는 것을 확인하지 않고 M=4에서 멈추면 개수가 크게 줄어듭니다. 선지가 135, 144, 153, 162, 171로 9씩 차이 나게 배열돼 있어 개수가 어긋나도 근처 선지가 그럴듯해 보이므로, 구간을 다 세운 뒤 반드시 한 번 더 세어 확인하세요.
- 경계에서 n=27이나 n=216을 포함시키는 경우입니다. n=27이면 M=3이 되어 누적합 14가 5의 배수가 아니므로 제외이고, n=216이면 M=6이라 역시 제외입니다. 부등호를 m³≤n<(m+1)³ 형태로 고정해 두면 이 실수가 사라집니다.
풀이 영상
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