101등급 갈림길
2026학년도 9월 고3 모의평가 수학 · 4점
문제
출제의도
이 문항은 지수함수 두 개와 수평선의 교점 사이 거리라는 기하 조건을 지수법칙 하나로 옮기는 문제입니다. 두 교점의 x좌표를 p, q로 두면 조건은 16ap = 7, 14aq = 7, 그리고 q − p = 4의 세 줄이 되고, 여기서 a를 뽑아내면 끝납니다.
난이도의 정체는 소거의 안목입니다. p와 q를 각각 로그로 구하려 들면 7과 16이 뒤엉켜 식이 무거워집니다. 반대로 두 식을 나누거나 대입해 ap를 통째로 지워야 한다는 판단을 하면 계산은 세 줄로 끝납니다. 10번 자리에서 이 문항이 걸러 내는 것은 계산력이 아니라 “무엇을 남기고 무엇을 지울지”의 선택입니다.
이 문제를 풀려면 알아야 할 것
- 지수함수의 증가·감소 — a > 1이면 y = ax는 증가함수입니다. 두 곡선 모두 오른쪽 위로 올라가므로 계수가 큰 y = 16ax가 항상 위에 있고, 수평선 y = 7과는 더 왼쪽에서 만납니다.
- 지수법칙 — ap+4 = ap × a⁴입니다. 이 문항은 이 한 줄로 미지수 p를 통째로 지웁니다.
- 수평선 위 두 점의 거리 — A, B는 모두 직선 y = 7 위의 점이므로 선분 AB의 길이는 두 x좌표의 차, 즉 q − p입니다.
- 계수를 지수로 흡수하기 — 상수 배 k·ax는 ax + logak와 같으므로, 계수가 다른 두 지수함수는 서로 x축 방향 평행이동 관계입니다.
- 거듭제곱근의 정리 — a⁴ = 64에서 a > 0이므로 a = 641/4이고, 64 = 2⁶을 이용하면 a = 23/2 = 2√2로 정리됩니다.
정답 확인
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
두 교점의 좌표를 문자로 세웁니다
A, B의 x좌표를 각각 p, q로 두면 y좌표가 모두 7이므로 16ap = 7과 14aq = 7을 얻습니다. a > 1이므로 계수가 큰 곡선이 위에 있고, 그래프를 대충 그려 보면 A가 왼쪽, B가 오른쪽이라는 것이 보입니다.
거리 조건을 좌표의 관계로 바꿉니다
두 점이 같은 수평선 위에 있으므로 선분 AB의 길이는 x좌표의 차입니다. B가 오른쪽이므로 q − p = 4, 즉 q = p + 4로 정리해 두세요. 좌우 판단을 건너뛰면 여기서 부호가 뒤집힙니다.
y좌표가 같다는 점을 이용해 p를 지웁니다
두 식의 좌변이 모두 7과 같으므로 16ap = 14ap+4가 성립합니다. 우변을 지수법칙으로 풀어 쓰면 양변에 ap가 공통으로 들어 있고, ap > 0이므로 나눌 수 있습니다. 남는 것은 a⁴ = 64뿐입니다.
a를 정리합니다
64 = 2⁶이므로 a = 26/4 = 23/2입니다. 따라서 a = 2√2가 되고, 이 값은 a > 1이라는 조건을 만족합니다.
더 빠르게 푸는 법
정석 풀이에서 학생이 가장 오래 붙잡는 곳은 p와 q를 로그로 각각 구하려는 구간입니다. 이 문항은 p와 q를 끝까지 구하지 않아도 됩니다.
계수를 지수 안으로 넣으면 y = 14ax는 y = 16ax를 x축 방향으로 평행이동한 곡선입니다. 이동량을 k라 하면 14 = 16a−k에서 ak = 64입니다. 그런데 두 곡선이 같은 수평선을 만나는 두 점의 간격이 곧 이동량이므로 k = 4입니다. 좌표를 세우기 전에 a⁴ = 64가 나옵니다.
두 조건을 ap = 716, aq = 28 꼴로 먼저 정리한 뒤 나누세요. aq−p = 28 ÷ 716 = 64가 되고, q − p = 4를 넣으면 곧바로 a⁴ = 64입니다. 로그를 한 번도 쓰지 않고, p와 q의 값도 구하지 않습니다.
직선의 높이 7은 두 식의 우변에 똑같이 들어 있으므로 나누는 순간 사라집니다. 7 대신 다른 양수를 넣어도 답은 2√2로 같습니다. 계산 도중에 7이나 log 7이 남아 있다면 소거 경로를 놓친 것이므로, 그때 되돌아가는 판단 기준으로 쓰세요.
a⁴ = 64를 네제곱근으로 계산하려 하지 말고 64 = 2⁶으로 바꾸세요. a = 26/4 = 23/2이 한 줄로 나옵니다. 선지가 √2, 2, 2√2, 4, 4√2로 전부 2의 거듭제곱 꼴이므로, 밑을 2로 맞추면 선지 대조까지 눈으로 끝납니다.
실수를 줄이는 노하우
- 계수의 위치를 뒤집는 실수 — 14를 4로 옮겨 적으면 16ap = 4ap+4가 되어 a⁴ = 4, 즉 a = √2가 나오고 ①로 흘러갑니다. 선지 맨 앞에 √2가 놓인 것은 이 실수를 노린 배치이므로, 식을 옮겨 적은 직후에 분수 계수를 한 번 더 확인하세요.
- A와 B의 좌우를 바꾸는 실수 — p = q + 4로 두면 a−4 = 64가 되어 a는 1보다 작은 값이 됩니다. a > 1이라는 조건을 위반한 값이 나왔다면 좌우 판단이 뒤집힌 것이므로, 그래프를 대충이라도 그려 A가 왼쪽임을 먼저 확정하세요.
- AB를 다른 거리로 해석하는 실수 — A와 B는 모두 y = 7 위의 점이므로 AB는 순수한 가로 거리입니다. 두 곡선의 세로 간격이나 대각선 거리로 보고 피타고라스를 꺼내면 식이 무거워지면서 답이 나오지 않습니다. 두 점의 y좌표가 같으면 거리 계산은 x좌표의 차 하나입니다.
- 지수 정리를 끝내지 않는 실수 — a = 26/4까지 왔는데 64를 정리하지 못하고 2² = 4로 처리하면 ④로 흘러갑니다. 64 = 32이므로 2 × 21/2, 즉 2√2입니다. 지수가 분수로 나왔을 때는 약분부터 하고 정수 부분과 근호 부분으로 쪼개세요.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 공통 1~22번 전 문항 손풀이 영상이므로 10번 구간까지 넘겨서 보시면 됩니다.
폰으로 보고 있다면 세로 화면으로 촬영된 공통 손풀이 영상이 화면을 꽉 채워 더 편합니다.
“2026년 9월 고3 모의고사 수학 10번 해설 – 지수함수 그래프와 교점”에 대한 1개의 생각