9기본 점수 확보
2026학년도 9월 고3 모의평가 수학 · 4점
문제
출제의도
이 문항은 수직선 위를 움직이는 두 점의 위치를 두 번 미분해 가속도까지 내려가는 문제입니다. 조건은 하나뿐입니다. “두 점의 속도가 같아지는 순간”을 v₁(t) = v₂(t)라는 방정식으로 번역하고, 거기서 나온 시각을 가속도 식에 넣어 두 값의 차를 구하면 끝납니다.
계산 자체는 어렵지 않은데도 9번 자리에서 오답이 나오는 이유는 단계 관리입니다. 위치·속도·가속도라는 세 층 사이를 두 번 오르내리는 동안, 지금 다루는 식이 몇 번째 미분 결과인지 놓치는 순간 값이 통째로 어긋납니다. 실수의 정체가 계산이 아니라 위치 확인이라는 점이 이 문항의 성격입니다.
이 문제를 풀려면 알아야 할 것
- 위치 · 속도 · 가속도의 관계 — 속도는 위치를 t로 한 번, 가속도는 두 번 미분한 것입니다. 이 문항은 위치식만 주고 가속도를 물으므로 미분을 정확히 두 번 해야 합니다.
- 다항함수의 미분 — (tⁿ)′ = n tⁿ⁻¹, 상수의 미분은 0입니다. x₂의 상수항 3은 속도에서 이미 사라집니다.
- 조건의 식 번역 — “속도가 같아진다”는 두 속도 함수를 등식으로 놓으라는 뜻입니다. 위치가 같아진다는 조건이 아닙니다.
- 이차방정식의 인수분해 — 정리한 식의 계수가 모두 6의 배수이므로, 나눈 뒤 인수분해하면 근이 바로 보입니다.
- 정의역 제한 — t ≥ 0이라는 조건이 붙어 있으므로 음수 근은 버려야 합니다.
정답 확인
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
위치를 미분해 속도식을 만듭니다
두 점의 위치식을 각각 t로 미분하면 v₁(t) = 12t² − 2t − 11, v₂(t) = 4t + 7이 됩니다. x₂의 상수항 3은 여기서 사라지므로 이후 계산에 관여하지 않습니다.
속도가 같아지는 시각을 구합니다
두 속도를 같다고 놓고 한쪽으로 모으면 12t² − 6t − 18 = 0이 됩니다. 계수가 모두 6으로 나누어지므로 2t² − t − 3 = 0으로 줄이고 인수분해하면 (2t − 3)(t + 1) = 0입니다. t ≥ 0이라는 조건이 있으므로 t = 32만 남습니다.
한 번 더 미분해 가속도를 구합니다
속도식을 다시 미분하면 a₁(t) = 24t − 2, a₂(t) = 4입니다. 두 번째 점의 가속도는 t와 무관한 상수라는 점을 확인해 두세요. 여기에 t = 32를 넣으면 p = 34, q = 4이므로 따라서 p − q = 30이 됩니다.
더 빠르게 푸는 법
정석 풀이에서 시간을 먹는 곳은 두 군데입니다. 이차방정식을 정리하는 구간과, p와 q를 따로 구해 마지막에 빼는 구간입니다. 두 곳 모두 줄일 수 있습니다.
문제가 묻는 것은 p와 q가 아니라 p − q입니다. 그러면 처음부터 a₁(t) − a₂(t) = (24t − 2) − 4 = 24t − 6이라는 하나의 식을 만들어 두세요. t = 32를 한 번 대입하면 36 − 6 = 30으로 바로 끝납니다. 34와 4를 각각 구해 적어 두는 두 줄이 통째로 사라집니다.
12t² − 6t − 18 = 0을 그대로 인수분해하려 들면 곱해서 −216이 되는 수를 찾느라 시간을 씁니다. 계수를 훑어 최대공약수 6이 보이면 먼저 나누세요. 2t² − t − 3 = 0이 되고, (2t − 3)(t + 1)은 거의 눈으로 잡힙니다. 계수가 큰 이차방정식을 만나면 인수분해보다 나눗셈이 먼저입니다.
두 번 미분하면 1차 이하의 항은 전부 사라집니다. 즉 가속도에 관여하는 것은 x₁의 4t³과 −t², x₂의 2t²뿐입니다. 이것을 미리 보면 a₁ = 24t − 2, a₂ = 4를 계산 없이 적을 수 있습니다. 다만 시각 t를 구하려면 속도식이 필요하므로, 속도 계산 자체를 건너뛰지는 마세요.
x₂가 이차식이므로 점 Q의 가속도는 항상 4로 고정입니다. 이 사실을 STEP A 단계에서 미리 알아 두면, 마지막에 확인할 값은 a₁ 하나로 줄어듭니다. 위치식의 차수를 보고 “이 점의 가속도는 상수”라고 먼저 판단하는 습관이 이런 유형에서 계속 쓰입니다.
실수를 줄이는 노하우
- 미분 횟수를 한 번 빠뜨리는 실수 — 속도까지만 구하고 그 차를 답으로 쓰는 경우입니다. 그런데 t = 32는 애초에 두 속도가 같아지는 시각이므로 v₁ − v₂ = 0이 나옵니다. 0이라는 값이 나왔다면 미분을 한 번 덜 한 것입니다. 이 문항은 자기 검증이 가장 쉬운 축에 속합니다.
- 중간값에서 멈추는 실수 — 24 × 32 = 36까지 계산한 뒤 −2와 −4를 빼지 않고 답을 고르면 36, 즉 ③으로 흘러갑니다. 선지에 36이 놓여 있다는 것 자체가 이 실수를 노린 설계이므로, 대입 후에 상수항이 남아 있는지 반드시 되짚으세요.
- 버려야 할 근을 채택하는 실수 — (2t − 3)(t + 1) = 0에서 t = −1을 쓰면 24 × (−1) − 6 = −30이 됩니다. 부호를 무시하고 30을 고르면 답은 우연히 맞지만 논리는 틀린 상태입니다. t ≥ 0은 문제에 명시된 조건이므로 근을 구한 직후에 걸러내세요.
- 이항 과정의 부호 실수 — 12t² − 2t − 11 = 4t + 7에서 우변을 넘길 때 −2t − 4t = −6t, −11 − 7 = −18입니다. 여기서 부호를 하나 놓치면 6으로 나누어떨어지지 않고 근이 지저분해집니다. 근이 분수·무리수로 지저분해지면 이항을 의심하는 것이 이 유형의 신호입니다.
풀이 영상
위 풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하고 싶다면 재생 버튼을 누르세요. 공통 1~22번 전 문항 손풀이 영상이므로 9번 구간까지 넘겨서 보시면 됩니다.
폰으로 보고 있다면 세로 화면으로 촬영된 공통 손풀이 영상이 화면을 꽉 채워 더 편합니다.