고3 수학 공통
8번 · 3점
등비수열
난이도 중
2026 9월 모평 고3 수학 8번 해설
비율 조건으로 공비 구하기 · 첫째항이 스스로 사라지는 구조의 문항
출제의도
등비수열의 일반항을 이용하여 공비를 구할 수 있는가?
공식을 아는지가 아니라, 다음 세 가지를 할 줄 아는지를 봅니다.
- 주어진 식의 분자와 분모를 모두 a1으로 묶어 문자 하나를 없애는가
- “모든 항이 양수”라는 문장을 r > 0이라는 근의 선별 조건으로 쓰는가
- 구하는 값이 공비 r이 아니라 r의 제곱이라는 것을 끝까지 기억하는가
8번 자리 3점 문항입니다. 계산량이 적은 대신 마지막 한 걸음에서 갈리도록 설계되어 있습니다.
문제
아래 문제를 먼저 직접 풀어보고 내려오세요.
8. 모든 항이 양수인 등비수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하자.
S3 / (a1 + 2a2) = 7/3
일 때, a8 / a6 의 값은? [3점]
- ① 4
- ② 9
- ③ 16
- ④ 25
- ⑤ 36
이 문제를 풀기 위한 핵심 내용 정리
1. 등비수열의 일반항
an = a1 × rn−1 (r은 공비)
→ 모든 항이 양수라는 조건에서 a1 > 0 이고 r > 0입니다. 이 문장은 나중에 근 두 개 중 하나를 버릴 때 쓰입니다. 지금 밑줄을 쳐 두세요.
2. 두 항의 비는 공비의 거듭제곱
am / an = rm−n
→ 이 문제에서 8 − 6 = 2이므로 구하는 값은 r2입니다. a6이나 a1의 값은 끝까지 필요 없습니다.
3. 비율 조건에서는 첫째항이 약분된다
S3 = a1(1 + r + r2), a1 + 2a2 = a1(1 + 2r)
→ 분자와 분모 모두 a1에 대한 1차식이므로 a1이 통째로 사라집니다. 미지수가 r 하나로 줄어드는 것이 이 문제의 설계입니다. 등비수열 합 공식을 굳이 꺼낼 필요가 없습니다.
정답 풀이
공비를 r (r > 0)이라 하면 S3 = a1 + a1r + a1r2, a1 + 2a2 = a1 + 2a1r 입니다. a1 ≠ 0이므로 약분하면 조건식은 (1 + r + r2) / (1 + 2r) = 7/3 이 됩니다.
3(1 + r + r2) = 7(1 + 2r) 이므로 3 + 3r + 3r2 = 7 + 14r. 정리하면 3r2 − 11r − 4 = 0입니다. 우변의 7 × 2r = 14r를 빠뜨리지 마세요.
(3r + 1)(r − 4) = 0 이므로 r = −1/3 또는 r = 4. 모든 항이 양수이므로 r = 4입니다. 따라서 a8 / a6 = r2 = 16.
아래 해설에서 a1이 약분되는 지점과 인수분해 과정을 확인하세요.
풀이영상
공통 1~22번 전 문항 손풀이 영상입니다. 세로화면이라 휴대폰으로 보기 편합니다. 8번 구간에서 a1이 약분되는 지점을 눈으로 확인하세요.
다른 손풀이도 필요하면 공통 1~22번 전문제 손풀이 · 전범위(공통+선택) 손풀이 를 함께 보세요.
실수를 줄이는 노하우
| 자주 하는 실수 | 왜 생기나 | 결과 · 예방 습관 |
|---|---|---|
| r = 4를 구한 뒤 그대로 답으로 고름 | 이차방정식을 푸는 순간 문제가 끝난 느낌이 듭니다. 게다가 선지에 4가 있습니다 | ①번으로 갑니다. 이 문항에서 가장 많이 나오는 오답입니다. r을 구하기 전에 답안지 여백에 “답 = r2“ 이라고 먼저 적어 두세요. |
| 3 + 3r + 3r2 = 7 + 7r 로 전개 | 7을 괄호 안 1에만 곱하고 2r에는 안 곱합니다 | 3r2 − 4r − 4 = 0 이 되어 r = 2, 답이 4. 역시 ①번으로 흘러갑니다. 분배는 항 개수만큼 화살표를 그어 확인하세요. |
| a8 / a6 을 r3으로 계산 | 첨자 8과 6을 보고 항의 개수(6, 7, 8 → 3개)로 세어 버립니다 | 64가 나오고 선지에 없습니다. 지수는 첨자의 차 8 − 6 = 2 입니다. 헷갈리면 a8 = a6 × r × r 로 두 칸을 직접 세어 보세요. |
| r > 0을 잊고 r = −1/3을 채택 | “모든 항이 양수인”이라는 수식어를 발문 첫 줄에서 흘려 읽습니다 | r2 = 1/9 이 나옵니다. 선지의 ②번 9와 모양이 비슷해 잘못 고르기 쉽습니다. 등비수열 문제는 부호 조건 문장에 먼저 밑줄을 긋고 시작하세요. |
선지 구조 읽기 — 4, 9, 16, 25, 36은 각각 22, 32, 42, 52, 62입니다. 선지 전체가 제곱수라는 것은 답이 r2 꼴이고 공비가 정수라는 뜻입니다. 이 관찰 하나로 다음 스킬이 열립니다.
효율적 풀이 스킬
스킬 1. 선지 역대입 — 방정식을 아예 풀지 않는다
선지에서 r 후보는 2, 3, 4, 5, 6. 조건식 (1 + r + r2) / (1 + 2r)에 차례로 넣습니다.
r = 2 → 7/5, r = 3 → 13/7, r = 4 → 21/9 = 7/3 ✓
적용 조건 : 선지가 정수 제곱수로 배열되어 공비 후보가 좁혀질 때만. 세 번째 대입에서 끝나므로 인수분해보다 빠릅니다. 선지가 무리수·분수를 포함하면 쓰지 마세요.
스킬 2. a1 = 1로 놓고 시작한다
분자·분모의 a1 차수가 같으므로 결과는 a1에 영향받지 않습니다. 처음부터 1, r, r2로 쓰면 문자가 하나 줄어듭니다.
적용 조건 : 조건식이 항들의 비 또는 분수 꼴이고, 분자·분모의 a1 차수가 같을 때. 항의 값을 직접 묻는 문제(예: a5의 값)에는 쓸 수 없습니다.
스킬 3. 3r2 − 11r − 4의 인수분해 감각
3 × (−4) = −12. 곱이 −12이고 합이 −11인 두 수는 −12와 +1. 따라서 (3r + 1)(r − 4)입니다.
적용 조건 : 최고차항 계수가 소수(2, 3, 5)인 이차식. 대각선 곱을 눈으로 맞추는 것보다 ac 분해법이 실수가 적습니다.
이 유형을 다시 만나면
등비수열에서 항들의 합이나 조합이 분수 꼴로 주어지면 같은 유형입니다. 그때 할 일의 순서는 언제나 같습니다.
- 모든 항을 a1과 r로 바꿔 쓴다
- 분자·분모를 a1으로 묶어 약분한다
- r에 대한 방정식을 풀고, 부호 조건으로 근을 고른다
- 발문이 요구한 것이 r인지 r의 거듭제곱인지 다시 확인한다
4번 항목을 건너뛰는 순간 선지 ①번이 기다리고 있습니다. 이 유형의 고정된 마지막 함정입니다.