고3 수학 공통
7번 · 3점
다항함수의 미분법
난이도 중
2026 9월 모평 고3 수학 7번 해설
극소 조건으로 미지수 결정 후 극댓값 구하기 · 묻는 지점이 조건과 반대편에 있는 문항
출제의도
도함수를 활용하여 다항함수의 극댓값을 구할 수 있는가?
계산 자체는 짧습니다. 실제로 평가하는 것은 세 가지입니다.
- “x = 1에서 극소”라는 말을 f′(1) = 0이라는 식 한 줄로 즉시 옮기는가
- 구한 a를 f(x)와 f′(x) 양쪽에 모두 반영하는가
- 조건이 걸린 곳은 x = 1인데 묻는 값은 반대쪽 극점이라는 구조를 놓치지 않는가
7번 자리 3점 문항이므로, 맞히느냐보다 1분 안에 끝내고 넘어가느냐가 실질적인 기준입니다.
문제
아래 문제를 먼저 직접 풀어보고 내려오세요.
7. 함수 f(x) = 2x3 + ax2 − 4ax 가 x = 1에서 극소일 때, f(x)의 극댓값은? (단, a는 상수이다.) [3점]
- ① 19
- ② 20
- ③ 21
- ④ 22
- ⑤ 23
이 문제를 풀기 위한 핵심 내용 정리
1. 극값의 필요조건
미분가능한 함수 f(x)가 x = c에서 극값을 가지면 f′(c) = 0
→ “x = 1에서 극소”는 곧 f′(1) = 0입니다. 미지수 a를 잡아낼 식은 이것 하나뿐입니다. 극대인지 극소인지는 a를 구하는 단계에서는 쓰이지 않습니다.
2. 삼차함수의 극대·극소 위치
최고차항의 계수가 양수인 삼차함수는 f′(x) = 0의 두 근 중 작은 근에서 극대, 큰 근에서 극소
→ x = 1이 극소이므로, 극대가 되는 점은 1보다 작은 나머지 근입니다. 증감표를 그리기 전에 이미 알 수 있습니다.
3. 근과 계수의 관계
이차방정식 x2 + px + q = 0의 두 근의 합은 −p
→ f′(x) = 0을 x2 + x − 2 = 0으로 정리하면 두 근의 합이 −1입니다. 한 근이 1이므로 나머지 근은 −2. 인수분해 없이 3초면 나옵니다.
정답 풀이
f′(x) = 6x2 + 2ax − 4a 이므로 f′(1) = 6 + 2a − 4a = 6 − 2a = 0. 따라서 a = 3입니다. −4ax를 미분하면 −4a가 남는다는 점에 주의하세요.
a = 3을 넣으면 f′(x) = 6x2 + 6x − 12 = 6(x + 2)(x − 1). 두 근은 x = −2와 x = 1입니다. 최고차항 계수가 양수이므로 x = −2에서 극대, x = 1에서 극소이고, 이는 문제의 조건과 일치합니다.
f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x 이므로 f(−2) = −16 + 12 + 24 = 20. 따라서 극댓값은 20입니다.
아래 해설에서 증감표로 극대·극소가 갈리는 지점을 확인하세요.
풀이영상
공통 1~22번 전 문항 손풀이 영상입니다. 세로화면이라 휴대폰으로 보기 편합니다. 7번 구간에서 a를 구한 뒤 f(x)를 다시 쓰는 손동작을 그대로 따라 해 보세요.
다른 손풀이도 필요하면 공통 1~22번 전문제 손풀이 · 전범위(공통+선택) 손풀이 를 함께 보세요.
실수를 줄이는 노하우
| 자주 하는 실수 | 왜 생기나 | 결과 · 예방 습관 |
|---|---|---|
| x = 1을 극대점으로 착각해 f(1)을 계산 | 문제에 크게 보이는 숫자가 1이라서, 조건이 걸린 자리를 그대로 답의 자리로 씁니다 | f(1) = −7이 나옵니다. 선지에 없으니 되돌아가게 되지만, 시간은 이미 씁니다. 발문의 “극소”와 “극댓값”에 각각 동그라미를 치고 시작하세요. |
| −4ax를 미분할 때 x를 놓쳐 f′(x) = 6x2 + 2ax − 4로 씀 | a가 문자라서 −4a 전체가 상수처럼 보입니다 | a = −1이 되고, 그때 f′(x) = 0은 실근이 없어 극값 자체가 사라집니다. 극값이 없다는 결론이 나오면 미분부터 다시 보세요. |
| a = 3을 f′(x)에만 넣고 f(x)에는 반영하지 않음 | 극점 위치를 찾는 순간 문제가 끝난 느낌이 듭니다 | 대입할 f(x)가 없어 막힙니다. a를 구한 즉시 f(x) = 2x3 + 3x2 − 12x를 한 줄 새로 적어 두세요. |
| f(−2)에서 −12 × (−2)를 −24로 처리 | 항 자체의 부호와 대입값의 부호가 겹칩니다 | −28이 나옵니다. 음수 대입은 괄호를 반드시 쓰고, 홀수 차항만 부호가 바뀐다는 점을 기준으로 검산하세요. |
선지에 대한 주의 — 이 문항의 선지는 19, 20, 21, 22, 23으로 연속된 정수입니다. 특정 오개념이 특정 선지로 이어지는 구조가 아니라, 대입 단계의 산술 실수를 그대로 받아내려고 배치된 선지입니다. 그래서 “내가 구한 값이 선지에 있으니 맞다”는 검산이 이 문제에서는 통하지 않습니다. 20 근처 값이 나왔다면 오히려 한 번 더 계산하세요.
효율적 풀이 스킬
스킬 1. 나머지 근은 근과 계수의 관계로 3초에
f′(x) = 6x2 + 6x − 12 = 0의 양변을 6으로 나누면 x2 + x − 2 = 0. 두 근의 합은 −1이고 한 근이 1이므로, 나머지 근은 −2입니다.
적용 조건 : f′(x) = 0의 한 근을 이미 알고 있을 때만. 이 문제처럼 “x = c에서 극값”이 주어진 유형은 항상 해당됩니다. 인수분해와 증감표를 모두 건너뛸 수 있습니다.
스킬 2. 상수항이 0이면 x로 묶어서 대입
f(x) = x(2x2 + 3x − 12) 이므로 f(−2) = (−2) × (8 − 6 − 12) = (−2) × (−10) = 20.
적용 조건 : 상수항이 0일 때. 세제곱 계산이 제곱 계산으로 내려가서 부호 실수 지점이 하나 줄어듭니다. 이 문항처럼 f(0) = 0인 형태는 모평에서 자주 나옵니다.
스킬 3. 조립제법으로 대입값 구하기
계수 2, 3, −12, 0을 나열하고 −2로 조립제법을 하면 2 → −1 → −10 → 20. 마지막 수가 f(−2)입니다.
적용 조건 : 다항식에 수를 대입할 때 언제나. 곱셈과 덧셈만 반복하므로 거듭제곱 계산이 사라집니다. 4점 문항에서 여러 값을 연속 대입할 때 특히 빠릅니다.
이 유형을 다시 만나면
발문에 “x = c에서 극대(또는 극소)” 가 나오고 함수에 미지수가 하나 있다면 같은 유형입니다. 할 일의 순서는 언제나 같습니다.
- f′(x)를 구하고 f′(c) = 0으로 미지수를 결정한다
- f′(x) = 0의 나머지 근을 찾는다 (근과 계수의 관계)
- 최고차항 부호로 어느 근이 극대인지 판단한다
- 미지수를 반영한 f(x)에 그 근을 대입한다
조건이 걸린 점과 묻는 점이 서로 다른 점이라는 것이 이 유형의 고정된 함정입니다.