2026년 9월 고3 모의고사 수학 6번 해설 – 삼각함수의 최댓값과 주기

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2026년 9월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점

삼각함수최댓값과 최솟값주기계수와 주기의 관계

2026년 9월 고3 모의평가 수학 6번 문제

출제의도

이 문항은 삼각함수의 최댓값 조건과 주기 조건을 각각 한 줄의 식으로 옮길 수 있는지 묻습니다. 최댓값은 a만, 주기는 b만 결정하므로 두 미지수가 서로 얽히지 않고 따로 구해집니다. 조건 두 개, 식 두 개, 그것으로 끝입니다.

난이도의 정체는 계수의 위치입니다. x의 계수가 b가 아니라 b분의 1로 주어져 있어서, 주기 공식을 형태로만 외운 학생은 b와 b분의 1을 뒤집습니다. 다섯 개 선지 가운데 세 개가 분수라는 배치가 바로 그 뒤집힘을 겨냥한 것입니다.

최댓값과 최솟값: y = a sin(kx) + c에서 a가 양수이면 sin 부분이 −1부터 1까지 움직이므로 최댓값은 a + c, 최솟값은 −a + c입니다. 이 문항은 c = 2이므로 최댓값이 a + 2입니다.
주기와 x의 계수: y = a sin(kx) + c의 주기는 2π ÷ |k|입니다. 이 문항에서 k는 b가 아니라 b분의 1이므로, 주기는 2π를 b분의 1로 나눈 값, 즉 2bπ가 됩니다.
"두 양수 a, b"라는 조건: a와 b가 양수라고 못 박았기 때문에 절댓값 기호를 떼고 계산해도 되고, 음수 해가 나오면 그 자리에서 잘못된 것입니다. 문제를 읽을 때 이 조건에 표시부터 해 두세요.
결국 세워야 할 두 식: a + 2 = 5와 2bπ = 8π, 이 두 줄입니다.

정답 확인

정답 ⑤ a + b = 7

2026년 9월 고3 모의평가 수학 6번 상세 해설 1

해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.

STEP A
최댓값 조건으로 a를 구한다

a가 양수이므로 최댓값은 a + 2입니다. 이 값이 5라고 했으므로 a + 2 = 5에서 a = 3입니다. 여기에 b는 전혀 개입하지 않습니다.

STEP B
주기 조건으로 b를 구한다

x의 계수가 b분의 1이므로 주기는 2bπ입니다. 이 값이 8π라고 했으므로 2bπ = 8π이고, 양변을 2π로 나누면 b = 4입니다.

STEP C
두 값을 더한다

a = 3, b = 4이므로 a + b = 7입니다. 문제가 요구한 것은 각 값이 아니라 두 값의 합이므로 마지막에 더하는 것을 잊지 마세요.

주기는 공식보다 "정의 질문"이 빠릅니다: 주기 공식을 떠올리는 대신 x가 얼마만큼 늘어나야 괄호 안이 2π 늘어나는가를 물으세요. 괄호 안이 b분의 x이므로 x가 2bπ만큼 늘어나야 하고, 그것이 곧 주기입니다. 계수가 분수든 무리수든 이 질문 하나면 뒤집힐 일이 없습니다.
최댓값·최솟값은 두 수의 평균과 반차로: 최댓값 M과 최솟값 m을 알면 진폭은 (M − m) ÷ 2, 세로 이동은 (M + m) ÷ 2입니다. 이 문항은 세로 이동 2가 이미 식에 있으므로 a = 5 − 2 = 3으로 한 번에 끝납니다. 최솟값을 묻는 변형이 나와도 같은 틀로 처리됩니다.
10초 검산 루틴: 구한 값을 원래 식에 되돌려 넣어 3 sin(x ÷ 4) + 2를 만들어 보세요. sin이 1이 될 때 값이 5이므로 최댓값 조건이 맞고, x가 8π 늘어나면 괄호 안이 2π 늘어나므로 주기 조건도 맞습니다. 두 조건을 각각 한 번씩만 확인하면 됩니다.

상수항 2를 빼지 않는 실수. 최댓값을 a 자체로 보고 a = 5로 두면 a + b = 9가 되어 선지에 없습니다. 되돌아올 수는 있지만 3점 문항에서 40초를 잃습니다. 최댓값은 언제나 진폭 + 세로 이동이라는 것을 식을 보자마자 확인하세요.
주기 공식에서 계수를 뒤집는 실수. 2π ÷ b = 8π로 잘못 놓으면 b는 4분의 1이 되고 a + b는 4분의 13이 됩니다. 이 값은 어떤 선지와도 일치하지 않습니다. 분수 선지 세 개가 나란히 놓여 있어 "분수가 나왔으니 이 중 하나겠지"라며 고르기 쉬운데, 답이 분수로 나왔다면 그것은 선지를 고르라는 신호가 아니라 주기 식으로 되돌아가라는 신호입니다.
π를 약분하지 않고 남기는 실수. 2bπ = 8π에서 양변의 π를 지워야 b = 4가 됩니다. π를 한쪽에만 남겨 2b = 8π로 두면 b = 4π가 되어 a + b에 π가 붙은 채로 남습니다. 주기 방정식은 양변에 π가 있는지부터 보고 시작하세요.
최솟값 쪽 공식을 가져오는 실수. −a + 2 = 5로 놓으면 a = −3이 나오는데, 문제가 "두 양수 a, b"라고 했으므로 이 시점에서 이미 틀렸습니다. 음수가 나오면 계산을 이어가지 말고 조건 문장으로 즉시 돌아가세요.

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