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기본 점수 확보
2026년 9월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점
기본 점수 확보
2026년 9월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점
적분정적분의 계산다항함수의 부정적분항별 적분
출제의도
이 문항은 다항함수의 정적분을 항별 부정적분 + 위끝·아래끝 대입이라는 정해진 절차로 끝까지 처리할 수 있는지 묻습니다. 조건도 미지수도 없고, 요구하는 것은 오직 계산의 정확도입니다.
난이도의 정체는 계수 처리와 부호 하나뿐입니다. 선지가 22, 24, 26, 28, 30으로 2씩 나란히 놓여 있다는 점이 결정적입니다. 세 항 중 한 항만 어긋나도 옆 선지가 그대로 답처럼 보이기 때문에, 틀렸다는 신호를 스스로 받지 못한 채 넘어가게 됩니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 것
- 정적분의 계산
- f(x)의 부정적분 하나를 F(x)라 하면 정적분의 값은 F(위끝) − F(아래끝)입니다. 적분상수는 빼는 과정에서 사라지므로 쓰지 않아도 됩니다.
- xⁿ의 부정적분
- 지수를 1 올리고 그 올라간 수로 나눕니다. 즉 xⁿ의 부정적분은 xⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)입니다. 미분과 반대 방향이라는 점을 늘 확인하세요.
- 항별로 나눠도 된다
- 합과 차로 이어진 식은 항마다 따로 적분해도 되고, 상수배는 적분 기호 밖으로 빼도 됩니다. 그래서 세 항을 각각 처리한 뒤 더하면 됩니다.
- 결국 계산할 것
- 부정적분은 ½x⁴ + 2x³ − ½x²이고, 여기에 x = 2를 넣은 값에서 x = 0을 넣은 값을 빼면 끝입니다.
정답 확인
정답 ① 22
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
세 항을 각각 적분한다
세 항을 각각 적분한다
2x³은 지수를 4로 올리고 4로 나눠 ½x⁴이 되고, 6x²은 2x³이 되며, −x는 −½x²이 됩니다. 계수를 곱한 뒤 나누는 순서를 항마다 똑같이 지키세요.
STEP B
아래끝 0을 먼저 정리한다
아래끝 0을 먼저 정리한다
부정적분 ½x⁴ + 2x³ − ½x²에는 상수항이 없으므로 x = 0을 넣으면 값이 0입니다. 따라서 아래끝 계산은 생략하고 위끝 x = 2만 대입하면 됩니다.
STEP C
위끝을 대입해 합한다
위끝을 대입해 합한다
½ × 2⁴ = 8, 2 × 2³ = 16, −½ × 2² = −2입니다. 세 값을 더하면 8 + 16 − 2 = 22이므로 정적분의 값은 22가 됩니다.
더 빠르게 푸는 방법
- 부정적분 식을 옮겨 적지 말고 항마다 바로 숫자로
- 아래끝이 0인 정적분은 ∫₀ᶜ xⁿ dx = cⁿ⁺¹ ÷ (n + 1)을 항마다 바로 적용하면 됩니다. 이 문항이라면 2 × 2⁴ ÷ 4 = 8, 6 × 2³ ÷ 3 = 16, −2² ÷ 2 = −2를 순서대로 적어 내려가면 대괄호를 한 번도 쓰지 않고 20초 안에 끝납니다.
- 계수를 먼저 약분해 정수로 만든다
- 6x²처럼 계수가 지수 + 1로 나누어떨어지는 항은 6 ÷ 3 = 2로 먼저 약분하세요. 분수를 끝까지 끌고 가면 대입할 때 실수가 늘어나는데, 미리 정수로 바꿔 두면 마지막에 더하기만 남습니다.
- 10초 검산 루틴
- 선지가 2씩 붙어 있으므로 항의 개수와 부호부터 확인하세요. 세 항을 계산했는지, 마지막 항이 음수인지 두 가지만 보면 됩니다. 그 다음 8, 16, −2를 순서를 바꿔 −2 + 8 + 16으로 한 번 더 더해 같은 값이 나오면 확정입니다.
실수를 줄이는 노하우
- 마지막 −x 항을 통째로 빠뜨리는 실수. 앞의 두 항이 깔끔하게 8과 16으로 떨어지다 보니 세 번째 항을 놓치기 쉽습니다. 그러면 8 + 16 = 24가 되어 선지 ②로 그대로 흘러갑니다. 적분하기 전에 항의 개수를 세어 손가락으로 표시해 두세요.
- −x의 부호를 놓치는 실수. −x를 적분하면 −½x²인데 부호를 흘려 +½x²으로 두면 8 + 16 + 2 = 26이 되어 선지 ③으로 흘러갑니다. 음수 항은 적분한 직후에 마이너스를 먼저 쓰고 나머지를 채우는 습관이 안전합니다.
- 지수를 올리지 않고 미분처럼 처리하는 실수. 급하면 손이 미분 쪽으로 먼저 움직입니다. 적분은 지수가 커지는 방향이라는 것을 첫 항에서 한 번 확인하고 나머지 항으로 넘어가세요.
- 계수와 나눗셈을 뒤섞는 실수. 2x³을 적분할 때 2를 곱한 뒤 4로 나누어야 하는데 순서를 뒤집으면 계수가 어긋납니다. 항마다 "지수 올리기 → 그 수로 나누기 → 원래 계수 곱하기" 순서를 고정하세요.
풀이 영상
풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 아래는 공통 1~22번을 이어서 푸는 손풀이 영상이므로, 5번 위치까지 이동해서 보세요.