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기본 점수 확보
2026년 9월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점
기본 점수 확보
2026년 9월 고3 모의평가 · 수학 공통 · 3점
함수의 극한과 연속연속의 정의구간별로 정의된 함수경계값 대입
출제의도
이 문항은 실수 전체의 집합에서 연속이라는 말을 x = 2 한 점에서의 등식 한 줄로 옮길 수 있는지 묻습니다. 두 개의 다항식이 x = 2를 경계로 이어 붙어 있고, 각 조각은 그 안에서 이미 연속이므로 실제로 검사할 곳은 이어 붙인 자리 하나뿐입니다.
3점 자리에 놓인 이유는 계산량이 아니라 정의의 정확한 사용입니다. 어느 점을 검사할지 스스로 골라내고, 그 점에서 좌·우 두 식에 같은 값을 대입해야 합니다. 틀리는 학생은 개념을 몰라서가 아니라 대입 과정에서 항을 하나 흘려서 틀립니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 것
- 연속의 정의
- 함수 f(x)가 x = k에서 연속이라는 것은 f(k)가 존재하고, 좌극한과 우극한이 모두 존재하며, 그 세 값이 서로 같다는 뜻입니다. 세 값 중 하나라도 어긋나면 연속이 아닙니다.
- 다항함수는 항상 연속
- 7x + a도, x² + ax도 다항함수이므로 각자의 구간 안에서는 언제나 연속입니다. 그래서 구간별로 정의된 함수에서는 이어 붙인 경계점만 검사하면 됩니다.
- 경계값이 어느 쪽에 포함되는지
- 이 문항의 조건은 x ≤ 2이므로 f(2)는 위쪽 식 7x + a로 계산합니다. 즉 f(2) = 14 + a입니다.
- 결국 세워야 할 식
- 7 × 2 + a = 2² + a × 2, 다시 말해 14 + a = 4 + 2a 한 줄입니다.
정답 확인
정답 ② a = 10
상세 해설
풀이 흐름 한눈에 정리
해설 이미지의 계산을 따라가기 전에, 전체 흐름을 문장으로 정리하면 다음과 같습니다.
STEP A
검사할 점을 하나로 좁힌다
검사할 점을 하나로 좁힌다
x < 2 구간과 x > 2 구간은 각각 다항함수이므로 이미 연속입니다. 따라서 실수 전체에서 연속이려면 x = 2에서만 연속이면 되고, 문제는 그 한 점의 조건으로 줄어듭니다.
STEP B
세 값을 각각 쓴다
세 값을 각각 쓴다
좌극한은 7x + a에 x = 2를 넣어 14 + a, 우극한은 x² + ax에 x = 2를 넣어 4 + 2a입니다. 함숫값 f(2)는 등호가 붙은 위쪽 식이므로 14 + a입니다.
STEP C
세 값을 같다고 놓고 a를 구한다
세 값을 같다고 놓고 a를 구한다
14 + a = 4 + 2a에서 양변의 a를 정리하면 a = 10이 됩니다. 따라서 상수 a의 값은 10입니다.
더 빠르게 푸는 방법
- 극한 기호는 시험장에서 쓰지 않아도 됩니다
- 연속 조건을 확인할 때 좌극한·우극한 기호를 옮겨 적으면 20초가 그냥 나갑니다. 두 식에 경계값 x = 2를 바로 대입해 14 + a = 4 + 2a 한 줄만 쓰세요. 답까지 15초면 충분합니다.
- 유형 전체에 통하는 한 줄
- 구간별로 정의된 함수의 연속 조건은 언제나 이어 붙인 자리에서 두 식의 값이 같다입니다. 만약 ‘미분가능’까지 물으면 여기에 두 도함수의 값도 같다 한 줄만 더 붙이면 되므로, 같은 틀로 4점 문항까지 처리됩니다.
- 5초 검산 루틴
- 구한 a = 10을 두 식에 되돌려 넣어 보세요. 7 × 2 + 10 = 24이고 2² + 10 × 2 = 24로 값이 일치하므로 계산이 맞습니다. 이 문항처럼 미지수가 하나뿐인 유형은 검산이 대입 두 번으로 끝납니다.
실수를 줄이는 노하우
- ax의 계수를 흘리는 실수. x² + ax에 x = 2를 넣으면 4 + 2a인데, 뒤 항의 곱하기 2를 놓쳐 4 + a로 쓰는 경우가 가장 많습니다. 그러면 14 + a = 4 + a가 되어 a가 사라지고, 식이 성립하지 않아 처음부터 다시 푸느라 시간을 씁니다.
- 2²을 2로 처리하는 실수. 급하게 대입하다 2² = 4를 2로 적으면 14 + a = 2 + 2a에서 a = 12가 나와 선지 ④로 그대로 흘러갑니다. 제곱 항은 대입할 때 숫자를 눈으로 한 번 더 확인하세요.
- 등호가 붙은 쪽을 확인하지 않는 실수. 이 문항은 x ≤ 2이므로 f(2)는 7x + a 쪽입니다. 등호가 아래 식에 붙어 있었다면 f(2) = 4 + 2a가 되므로, 조건식을 볼 때 부등호에 등호가 있는지부터 표시해 두세요.
- 이항할 때의 부호. 14 + a = 4 + 2a를 정리하면서 a − 2a를 −a로 처리하는 자리에서 부호가 뒤집히면 a = −10이 나옵니다. 선지에 없으므로 되돌아올 수는 있지만, 그 왕복이 3점 문항에서 1분을 잡아먹습니다.
풀이 영상
풀이 흐름을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 아래는 공통 1~22번을 이어서 푸는 손풀이 영상이므로, 4번 위치까지 이동해서 보세요.