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킬러 문항
4점
2026년 9월 고1 전국연합학력평가 · 수학
킬러 문항
4점
2026년 9월 고1 전국연합학력평가 · 수학
- 공통수학1 · 이차함수
- 이차함수와 직선의 위치 관계
- 판별식
- 근과 계수의 관계
- 평행이동으로 개형 파악
해설을 보기 전에 위 문제를 한 번 더 풀어보세요. 아래 핵심 내용만 확인해도 실마리가 잡힙니다.
출제의도
이 문항은 조건 세 줄을 그래프의 위치 관계로 번역하는 문제입니다. 주어진 조건은 ⑴ 직선 y = 2x와의 교점이 모두 합쳐 2개, ⑵ 수평선 y = f(0)이 만드는 세 교점의 대소와 합, ⑶ 두 곡선의 교점을 지나면서 y = f(x)와 한 점에서만 만나는 직선입니다. 세 조건 모두 방정식으로 바꾸면 판별식과 근과 계수의 관계 두 도구만으로 처리됩니다.
30번에 배치된 이유는 계산량이 아니라 개형 분류의 완전성에 있습니다. k의 부호에 따라 두 포물선의 좌우 배치가 뒤바뀌고, 그중 조건 (가)의 부등호 순서를 만족시키는 배치는 하나뿐입니다. 이 분류를 건너뛰고 식만 세운 학생은 부호가 반대인 답에 도달하도록 설계된 자리입니다.
풀이에 필요한 핵심 내용
① 두 판별식이 같다는 사실
D₁ = D₂ = 8a − 4b + 4
f(x) − 2x와 g(x) − 2x의 판별식을 각각 계산하면 값이 완전히 같습니다. 교점의 총 개수가 2인데 두 곡선의 상황이 동일하므로, 한 곡선에서 2개가 나올 수 없습니다. 각각 1개씩, 즉 두 곡선 모두 직선 y = 2x에 접합니다.
D₁ = D₂ = 8a − 4b + 4
f(x) − 2x와 g(x) − 2x의 판별식을 각각 계산하면 값이 완전히 같습니다. 교점의 총 개수가 2인데 두 곡선의 상황이 동일하므로, 한 곡선에서 2개가 나올 수 없습니다. 각각 1개씩, 즉 두 곡선 모두 직선 y = 2x에 접합니다.
② 수평선 y = f(0)과의 교점은 근과 계수의 관계로
t₁ = 2a / t₂ + t₃ = 2a + 2k
f(x) = f(0)은 x² − 2ax = 0이 되어 근이 0과 2a입니다. g(x) = f(0)은 이차방정식이므로 두 근의 합만 필요합니다. 조건 (나)에 그대로 넣으면 2a = 2(2a + 2k), 즉 a = −2k가 나옵니다.
t₁ = 2a / t₂ + t₃ = 2a + 2k
f(x) = f(0)은 x² − 2ax = 0이 되어 근이 0과 2a입니다. g(x) = f(0)은 이차방정식이므로 두 근의 합만 필요합니다. 조건 (나)에 그대로 넣으면 2a = 2(2a + 2k), 즉 a = −2k가 나옵니다.
③ k의 부호는 조건 (가)가 결정한다
a > 0 이고 a = −2k → k < 0
k > 0이면 g의 그래프가 f보다 오른쪽 위로 밀려 t₂ > 0이 되어 t₂ < 0을 만족시키지 못합니다. 조건 (가)의 부등호는 장식이 아니라 경우를 하나로 좁히는 열쇠입니다.
a > 0 이고 a = −2k → k < 0
k > 0이면 g의 그래프가 f보다 오른쪽 위로 밀려 t₂ > 0이 되어 t₂ < 0을 만족시키지 못합니다. 조건 (가)의 부등호는 장식이 아니라 경우를 하나로 좁히는 열쇠입니다.
④ “한 점에서만 만나는 직선”의 정체
g(x) = h(x)의 두 근의 합 = m − 2k = 2(a + k)
h(x) = mx + n으로 놓고 근과 계수의 관계를 쓰면 a = −2k를 대입했을 때 m = 0이 됩니다. 즉 h는 수평선이고, 수평선이 아래로 볼록한 이차함수와 한 점에서만 만나려면 꼭짓점을 지나야 합니다.
g(x) = h(x)의 두 근의 합 = m − 2k = 2(a + k)
h(x) = mx + n으로 놓고 근과 계수의 관계를 쓰면 a = −2k를 대입했을 때 m = 0이 됩니다. 즉 h는 수평선이고, 수평선이 아래로 볼록한 이차함수와 한 점에서만 만나려면 꼭짓점을 지나야 합니다.
정답 확인
정답 24 (a = 4, b = 9, k = −2)
상세 해설
더 빠른 풀이 · 평행이동으로 개형을 통째로 읽기
판별식을 두 번 전개하는 대신, g가 f를 어떻게 옮긴 그래프인지 먼저 보면 첫 조건이 한 줄에 끝납니다.
1단계 g(x) = f(x − k) + 2k입니다. 즉 g는 f를 x축으로 k, y축으로 2k만큼 옮긴 그래프이고, 이 이동 방향의 기울기는 2k ÷ k = 2입니다. 직선 y = 2x는 이 이동으로 자기 자신에 겹칩니다. 따라서 f와 y = 2x의 교점 개수와 g와 y = 2x의 교점 개수는 반드시 같습니다. 합이 2이므로 각각 1개, 곧 둘 다 접합니다.
2단계 ④에서 h는 수평선이고 f의 꼭짓점 (a, b)를 지납니다. h는 두 곡선의 교점도 지나야 하므로, 두 곡선의 교점이 곧 f의 꼭짓점입니다. 그러면 조건은 g(a) = b 한 줄로 압축됩니다.
3단계 g(a) = (a − a − k)² + b + 2k = k² + 2k + b이므로 k² + 2k = 0이고, k ≠ 0에서 k = −2를 얻습니다. 이어서 a = −2k = 4, 그리고 접한다는 조건 8a − 4b + 4 = 0에서 b = 9입니다.
4단계 구하는 값은 f(k) − g(k) = (k − a)² − a² − 2k입니다. 정리하면 5k² − 2k이므로 k = −2를 넣어 20 + 4 = 24로 끝납니다. b가 식에서 사라지므로 b를 구하지 않고도 답이 나옵니다.
시험장에서는 4단계의 5k² − 2k 형태까지 문자로 정리해 두는 것이 안전합니다. a와 b를 각각 숫자로 바꿔 대입하는 것보다 부호 실수가 줄고, 검산도 k 하나만 다시 확인하면 됩니다.
실수를 줄이는 노하우
- “만나는 서로 다른 모든 점의 개수가 2″를 한 곡선에서 2개로 읽으면 안 됩니다. 두 판별식이 같다는 것을 먼저 확인해야 1개 + 1개(둘 다 접함)로 확정됩니다. 이 확인을 건너뛰면 8a − 4b + 4 = 0을 세울 근거가 없어집니다.
- 조건 (나)에서 t₂, t₃를 각각 구하려고 근의 공식을 쓰면 √ 안에 문자가 남아 막힙니다. 필요한 것은 합뿐이므로 근과 계수의 관계에서 t₂ + t₃ = 2a + 2k만 꺼내세요.
- 2a = 2(2a + 2k)를 정리할 때 −2a = 4k, 즉 a = −2k입니다. 이항 과정에서 부호를 놓쳐 a = 2k로 두면 a > 0에서 k > 0이 되고, 조건 (가)를 만족시키는 개형이 사라져 문제가 풀리지 않습니다.
- 마지막 계산 5k² − 2k에 k = 2를 넣으면 16이 나옵니다. k가 음수라는 사실은 조건 (가)에서만 나오므로, 개형 분류를 생략한 학생이 정확히 이 값으로 흘러갑니다. 대입 직전에 k = −2임을 한 번 더 확인하세요.
- h(x)를 접선으로 단정하고 기울기를 미분으로 구하려 하지 마세요. 고1 과정에서는 g(x) = h(x)의 두 근의 합을 조건과 비교해 m = 0을 끌어내는 것이 정해진 길입니다.
- 검산은 a = 4, b = 9, k = −2를 넣어 f(x) = (x − 4)² + 9, g(x) = (x − 2)² + 5로 만든 뒤 t₁ = 8, t₂ + t₃ = 4가 되는지만 보면 됩니다. 20초면 끝나고 부호 실수를 전부 잡아냅니다.
풀이 영상
풀이 과정을 영상으로 한 번 더 확인하려면 재생 버튼을 누르세요. 30번 시작 지점(66분 07초)부터 재생됩니다.
전체 문항을 순서대로 보고 싶다면 고1 전문항 손풀이 영상도 있습니다.
평소 문제 풀이 속도가 느린 학생에게는 이 해설이 도움이 될 수 있습니다. 하지만 특정 유형에서는 다른 접근 방식이 필요할 수도 있습니다.